Question

（2013•鎮江）通過對蘇科版八（下）教材一道習題的探索研究，我們知道：一次函數y=x-1的圖象可以由正比例函數y=x的圖象向右平移1個單位長度得到類似的，函數y=

k

x+2

(k≠0)的圖象是由反比例函數y=

k

x

(k≠0)的圖象向左平移2個單位長度得到．靈活運用這一知識解決問題．
如圖，已知反比例函數y=

4

x

的圖象C與正比例函數y=ax（a≠0）的圖象l相交于點A（2，2）和點B．
（1）寫出點B的坐標，并求a的值；
（2）將函數y=

4

x

的圖象和直線AB同時向右平移n（n＞0）個單位長度，得到的圖象分別記為C′和l′，已知圖象C′經過點M（2，4）．
①求n的值；
②分別寫出平移后的兩個圖象C′和l′對應的函數關系式；
③直接寫出不等式

4

x-1

≤ax-1的解集．

Answer 1

分析：（1）直接把A點坐標代入y=ax即可求出a的值；利用反比例函數的圖象與正比例函數的圖象的交點關于原點對稱確定B點坐標；
（2）①根據題意得到函數y=

4

x

的圖象向右平移n（n＞0）個單位長度，得到的圖象C′的解析式為y=

4

x-n

，然后把M點坐標代入即可得到n的值；
②根據題意易得圖象C′的解析式為y=

4

x-1

；圖象l′的解析式為y=x-1；
③不等式

4

x-1

≤ax-1可理解為比較y=

4

x-1

和y=x-1的函數值，由于y=

4

x-1

和y=x-1為函數y=

4

x

的圖象和直線AB同時向右平移1個單位長度，得到的圖象；而反比例函數y=

4

x

的圖象與正比例函數y=ax（a≠0）的圖象的交點為A（2，2）和B（-2，-2），所以平移后交點分別為（3，2）和B（-1，-2），則當x＜-1或0＜x＜2時，函數y=

4

x-1

的圖象都在y=x-1的函數圖象上方．

解答：解：（1）把A（2，2）代入y=ax得2a=2，解得a=1；
∵反比例函數y=

4

x

的圖象與正比例函數y=x的圖象的交點關于原點對稱，
∴B點坐標為（-2，-2）；

（2）①函數y=

4

x

的圖象向右平移n（n＞0）個單位長度，得到的圖象C′的解析式為y=

4

x-n

，
把M（2，4）代入得4=

4

2-n

，解得n=1；
②圖象C′的解析式為y=

4

x-1

；圖象l′的解析式為y=x-1；
③不等式

4

x-1

≤ax-1的解集是x≥3或-1≤x＜1．

點評：本題考查了反比例函數的綜合題：掌握反比例函數圖象上點的坐標特征、會確定反比例函數與一次函數的交點坐標以及待定系數法確定解析式；會運用圖形的平移確定點的坐標和同時提高閱讀理解能力．