Question

已知拋物線與x軸交點為A、B（點B在點A的右側），與y軸交于點C．
（1）試用含m的代數式表示A、B兩點的坐標；
（2）當點B在原點的右側，點C在原點的下方時，若是等腰三角形，求拋物線的解析式；
（3）已知一次函數，點P（n，0）是x軸上一個動點，在（2）的條件下，過點P作垂直于x軸的直線交這個一次函數的圖象于點M，交拋物線于點N，若只有當時，點M位于點N的下方，求這個一次函數的解析式．

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

試題分析：（1）根據點在曲線上點的坐標滿足方程的關系，令，解出即可求得用含m的代數式表示的A、B兩點坐標.
（2）根據等腰三角形的性質，，列式求出m的值即可求得拋物線的解析式.
（3）依題意并結合圖象可知，一次函數的圖象與二次函數的圖象交點的橫坐標分別為1和4，由此可得交點坐標，應用待定系數法，將交點坐標分別代入一次函數解析式即可求解.
試題解析：（1）令，有．
∴． ∴．
∴，．
∵點B在點A的右側，∴，．
（2）∵點B在原點的右側且在點A的右側，點C在原點的下方，拋物線開口向下，
∴．∴．∴．
令，有．∴．
∵是等腰三角形，且∠BOC =90°，
∴，即．
∴，解得（舍去）．
∴．
∴拋物線的解析式為．
（3）依題意并結合圖象可知，一次函數的圖象與二次函數的圖象交點的橫坐標分別為1和4，
由此可得交點坐標為和．
將交點坐標分別代入一次函數解析式中，
得 ， 解得 .
∴一次函數的解析式為．