Question

【題目】如圖，在ABCD中，對角線AC，BD交于點O，OA=OB，過點B作BE⊥AC于點E．

（1）求證：ABCD是矩形；

（2）若AD=，cos∠ABE=，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）5．

【解析】

（1）先說明.OA=OC，OB=OD，再證得AC=BD，即可證明ABCD是矩形；

（2）先說明∠BAD=∠ADC=90°，再求得∠CAD=∠ABE，最后解直角三角形即可．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴OA=OC，OB=OD

又∵OA=OB，

∴OA=OB=OC=OD，

∴AC=BD，

∴OABCD是矩形；

（2）解∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠ADC=90°，

∴∠BAC+∠CAD=90°，

∵BE⊥AC，

∴∠BAC+∠ABE=90°，

∴∠CAD=∠ABE，

在Rt△ACD中，AD=，cos∠CAD==cos∠ABE=

∴AC=5．