Question

【題目】（1）問題情境：如圖1，已知等腰直角中，，，是上的一點(diǎn)，且，過(guò)作于，取中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為_______（請(qǐng)直接寫出答案）

小明采用如下的做法：

延長(zhǎng)到，使，連接，

為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，

是的中位線……

請(qǐng)你根據(jù)小明的思路完成上面填空；

（2）遷移應(yīng)用：將圖1中的繞點(diǎn)作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，試探究、、的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（3）拓展延伸：在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）或

【解析】

（1）延長(zhǎng)到，使，連接，過(guò)作于，在中，利用勾股定理求得EH的長(zhǎng)，再利用三角形中位線定理即可求解；

（2）分在上方和下方兩種情況討論，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，利用等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形中位線定理即可求解；

（3）分點(diǎn)D在線段AC上和在AC延長(zhǎng)線上兩種情況討論，仿照（1）的方法即可求解．

（1）延長(zhǎng)到，使，連接，

∵B為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，

∴是的中位線，

∴，

過(guò)作于，

∵，，

∴四邊形BDEG是矩形，

∵等腰直角三角形，，

∴∠C=∠A=45，

∵，

∴等腰直角三角形，

∵，

∴，

∴，

∵在中，

，

∴；

（2）當(dāng)時(shí)，分成兩種情況：

如圖在上方，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，

∵∠BAC=45，

∴是等腰直角三角形，且B為AH的中點(diǎn)，

∴，

∴，

∵點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，

∴，

∴；

如圖，在下方，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，

同理是等腰直角三角形，為中點(diǎn)，

∴，

∴，

∵點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，

∴，

∴；

（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時(shí)，

延長(zhǎng)到，使，連接，

∵B為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，

∴是的中位線，

過(guò)作于，

∠ACB+∠DCE=90，∠ABC =90，

∴四邊形BCEG是矩形，

∴GE=BC=6，BG=CE=2，

∴GH=2+6=8，

∴EH=，

∴；

當(dāng)點(diǎn)D在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，

延長(zhǎng)到，使，連接，

∵B為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，

∴是的中位線，

過(guò)作于，

同理四邊形BCEG是矩形，

∴GE=BC=6，BG=CE=2，

∴GH=6-2=4，

∴EH=，

∴；