Question

（2012•連云港）已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3，

問題1：如圖1，P為AB邊上的一點，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請問對角線PQ，DC的長能否相等，為什么？
問題2：如圖2，若P為AB邊上一點，以PD，PC為邊作平行四邊形PCQD，請問對角線PQ的長是否存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由．
問題3：若P為AB邊上任意一點，延長PD到E，使DE=PD，再以PE，PC為邊作平行四邊形PCQE，請探究對角線PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由．
問題4：如圖3，若P為直線DC上任意一點，延長PA到E，使AE=nPA（n為常數），以PE、PB為邊作平行四邊形PBQE，請探究對角線PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：問題1：四邊形PCQD是平行四邊形，若對角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，然后利用矩形的性質，設PB=x，可得方程x²+3²+（2-x）²+1=8，由判別式△＜0，可知此方程無實數根，即對角線PQ，DC的長不可能相等；
問題2：在平行四邊形PCQD中，設對角線PQ與DC相交于點G，可得G是DC的中點，過點Q作QH⊥BC，交BC的延長線于H，易證得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH=4，則可得當PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為4；
問題3：設PQ與DC相交于點G，PE∥CQ，PD=DE，可得

DG

GC

=

PD

CQ

=

1

2

，易證得Rt△ADP∽Rt△HCQ，繼而求得BH的長，即可求得答案；
問題4：作QH∥CD，交CB的延長線于H，過點C作CK⊥CD，交QH的延長線于K，易證得

PA

BQ

=

AG

BG

=

1

n+1

與△ADP∽△BHQ，又由∠DCB=45°，可得△CKH是等腰直角三角形，繼而可求得CK的值，即可求得答案．

解答：解：問題1：過點D作DE⊥BC于點E，
∵梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC
∴四邊形ABED是矩形，
∴DE=AB=2，BE=AD=1，
∴CE=BC-BE=2，
∴DC=2

2

，
∵四邊形PCQD是平行四邊形，
若對角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，
設PB=x，則AP=2-x，
在Rt△DPC中，PD²+PC²=DC²，即x²+3²+（2-x）²+1=8，
化簡得x²-2x+3=0，
∵△=（-2）²-4×1×3=-8＜0，
∴方程無解，
∴對角線PQ與DC不可能相等．

問題2：如圖2，在平行四邊形PCQD中，設對角線PQ與DC相交于點G，
則G是DC的中點，
過點Q作QH⊥BC，交BC的延長線于H，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH，
∵PD∥CQ，
∴∠PDC=∠DCQ，
∴∠ADP=∠QCH，
又∵PD=CQ，
∴Rt△ADP≌Rt△HCQ，
∴AD=HC，
∵AD=1，BC=3，
∴BH=4，
∴當PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為4．

問題3：如圖2′，設PQ與DC相交于點G，
∵PE∥CQ，PD=DE，
∴

DG

GC

=

PD

CQ

=

1

2

，
∴G是DC上一定點，
作QH⊥BC，交BC的延長線于H，
同理可證∠ADP=∠QCH，
∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，
即

AD

CH

=

PD

CQ

=

1

2

，
∴CH=2，
∴BH=BC+CH=3+2=5，
∴當PQ⊥AB時，PQ的長最小，即為5．

問題4：如圖3，設PQ與AB相交于點G，
∵PE∥BQ，AE=nPA，
∴

PA

BQ

=

AG

BG

=

1

n+1

，
∴G是AB上一定點，
作QH∥CD，交CB的延長線于H，過點C作CK⊥CD，交QH的延長線于K，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠D=∠QHC，∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°，∠PAG=∠QBG，
∴∠QBH=∠PAD，
∴△ADP∽△BHQ，
∴

AD

BH

=

PA

BQ

=

1

n+1

，
∵AD=1，
∴BH=n+1，
∴CH=BH+BC=3+n+1=n+4，
過點D作DM⊥BC于M，
則四邊形ABMD是矩形，
∴BM=AD=1，DM=AB=2
∴CM=BC-BM=3-1=2=DM，
∴∠DCM=45°，
∴∠KCH=45°，
∴CK=CH•cos45°=

2

2

（n+4），
∴當PQ⊥CD時，PQ的長最小，最小值為

2

2

（n+4）．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、直角梯形的性質、平行四邊形的性質、矩形的性質、勾股定理、一元二次方程根的判別式、全等三角形的判定與性質以及直角三角形的性質等知識．此題難度較大，注意準確作出輔助線是解此題的關鍵，注意數形結合思想與方程思想的應用．