Question

【題目】如圖，一次函數與坐標軸分別交于A，B兩點，拋物線經過點A，B，點P從點B出發，以每秒2個單位長度的速度沿射線BA運動，點Q從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿射線AO運動，兩點同時出發，運動時間為t秒．

求此拋物線的表達式；

求當為等腰三角形時，所有滿足條件的t的值；

點P在線段AB上運動，請直接寫出t為何值時，的面積達到最大？此時，在拋物線上是否存在一點T，使得≌？若存在，請直接寫出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；（2）當為等腰三角形時，t的值為、或或4；（3）點T的坐標為．

【解析】

（1）先求得點A和點B的坐標，然后把點A和點B的坐標滴啊如拋物線的解析式可求得b、c的值，從而可得到拋物線的解析式；

（2）運動t秒后，AQ=t，BP=2t，先求得AB的長，然后分為QA=QP，AP=AQ，PA=PQ三種情況，求解即可；

（3）過點P作PF⊥AO于點F，延長FP交拋物線與點T．則AP=4-2t，PF=AP=2-t，然后可得到S△APQ與t的函數關系式，從而可求得t的值，于是可得到點P的坐標，從而可求得點T的坐標，然后再證明∴△APT≌△APO即可．

把代入中，得．

把代入中，得．

，

把，分別代入中，得，，

拋物線的表達式為

，，由勾股定理，得，

．

運動t秒后，，．

為等腰三角形，有，，三種情況，

當時，過點Q作于點D．

在中，，

，

．

解得；

當時，

若點P在x軸上方的直線AB上，，，

，

解得；

若點P在x軸下方的直線AB上，

，

，

解得：；

當時，過點P作于點E．

則，在中，

，

．

解得：

綜上所述，當為等腰三角形時，t的值為、或或4．

過點P作于點F，延長FP交拋物線與點T．

為底邊AQ上的高．

，，

．

．

當時，的面積最大此時點P為AB的中點，且．

連接OP，則，

點，

點T的橫坐標為，

將代入拋物線的解析式得：．

．

在中，由勾股定理可知：，

．

≌．

點T的坐標為．