Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點，點C是弧AD的中點，弦CE⊥AB于點E，過點D的切線交EC的延長線于點G，連接AD，分別交CE、CB于點P、Q，連接AC，給出下列結論：①∠DAC=∠ABC；②AD=CB；③點P是△ACQ的外心；④AC2=AEAB；⑤CB∥GD，其中正確的結論是（ ）
A.①③⑤
B.②④⑤
C.①②⑤
D.①③④

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵在⊙O中，點C是 的中點， ∴ = ，
∴∠CAD=∠ABC，故①正確；
∵ ≠ ，
∴ ≠ ，
∴AD≠BC，故②錯誤；
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAE=∠ABC+∠CAE=90°，
∴∠ACE=∠ABC，
又∵C為 的中點，
∴ = ，
∴∠CAP=∠ABC，
∴∠ACE=∠CAP，
∴AP=CP，
∵∠ACQ=90°，
∴∠ACP+∠PCQ=∠CAP+∠PQC=90°，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，即P為Rt△ACQ斜邊AQ的中點，
∴P為Rt△ACQ的外心，故③正確；
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵CE⊥AB
∴根據射影定理，可得AC2=AEAB，故④正確；
如圖，連接BD，則∠ADG=∠ABD，
∵ ≠ ，
∴ ≠ ，
∴∠ABD≠∠BAC，
∴∠ADG≠∠BAC，
又∵∠BAC=∠BCE=∠PQC，
∴∠ADG≠∠PQC，
∴CB與GD不平行，故⑤錯誤．
所以答案是：D．


【考點精析】關于本題考查的垂徑定理和圓周角定理，需要了解垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半才能得出正確答案．