Question

在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=a（x+1）²+c（a＞0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，其頂點為M，若直線MC的函數(shù)表達式為y=kx-3，與x軸的交點為N，且cos∠BCO=

3 10

10

．
（1）求此拋物線的函數(shù)表達式；
（2）在此拋物線上是否存在異于點C的點P，使以N、P、C為頂點的三角形是以NC為一條直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）過點A作x軸的垂線，交直線MC于點Q．若將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與線段NQ總有公共點，則拋物線向上最多可平移多少個單位長度？向下最多可平移多少個單位長度？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)MC的函數(shù)式不難得出C點的坐標應該是（0，-3），即c=-3，那么要求拋物線的解析式還缺少一個點的坐標，可根據(jù)OC=3，以及∠BCO的余弦值在直角三角形BCO中運用勾股定理求出OB的長，也就得出了B的坐標，進而可求出拋物線的解析式．
（2）假設存在這樣的點P，那么要分兩種情況進行討論：
①當PN是另外一條直角邊時，可先求出直線MC的函數(shù)解析式，然后確定出N點的坐標，如果PN與y軸的交點為N，那么直角三角形CND應該是個等腰直角三角形（∠OCN=45°），因此可求出OD的長，也就得出了D的坐標，然后可確定出直線PN的解析式，然后聯(lián)立拋物線和PN所在直線的解析式即可求出此時交點P的坐標．
②當PC是另外一條直角邊時，連接AC可發(fā)現(xiàn)，AC⊥CN（∠ACO=∠NCO=45°），而C點又正好在拋物線上，因此P與A重合，那么P點的坐標就是A點的坐標．
（3）①先求上移的單位，可先設出平移后的二次函數(shù)的解析式，然后聯(lián)立拋物線和直線NQ即MC的解析式，然后可得出一個一元二次方程，要想使兩函數(shù)有交點，那么△≥0，以此可求出平移單位的取值范圍，也就可求出最大的平移值．
②要求向下平移的最大單位，可求出當Q，N正好在拋物線上時，b的取值，那么根據(jù)MC的直線解析式，可得出Q，N點的坐標，那么當Q，N正好在拋物線上時，可用Q，N得出b的值，然后即可求出向下平移的最大單位．

解答：解：（1）∵直線MC的函數(shù)表達式y(tǒng)=kx-3．
∴點C（0，-3）
∴cos∠BCO=

|OC|

|BC|

=

3 10

10

=

3

10

∴可設|OC|=3t（t＞0），|BC|=

10

t
則由勾股定理，得|OB|=t
而|OC|=3t=3，
∴t=1
∴|OB|=1，
∴點B（1，0）
∵點B（1，0）C（0，-3）在拋物線上
∴

4a+c=0 a+c=-3

，
解得

a=1 c=-4

，
∴拋物線的函數(shù)表達式為y=（x+1）²-4=x²+2x-3．

（2）假設在拋物線上存在異于點C的點P，使以N，P，C為頂點的三角形是以NC為一條直角邊的直角三角形，
①若PN為另一條直角邊
∵點M（-1，-4）在直線MC上，
∴-4=-k-3，即k=1
∴直線MC的函數(shù)表達式為y=x-3
易得直線MC與x軸的交點N的坐標為N（3，0）
∵|OC|=|ON|
∴∠CNO=45°
∴在y軸上取點D（0，3），
連接ND交拋物線于點P
∵|ON|=|OD|
∴∠DNO=45°
設直線ND的函數(shù)表達式為y=mx+n
由

3m+n=0 n=3

得

m=-1 n=3

∴直線ND的函數(shù)表達式為y=-x+3
設點P（x，-x+3），代入拋物線的函數(shù)表達式，
得-x+3=x²+2x-3，
即x²+3x-6=0
解得x₁=

-3+ 33

2

，x₂=

-3- 33

2

∴y₁=

9- 33

2

，y₂=

9+ 33

2

∴滿足條件的點為P₁（

-3+ 33

2

，

9- 33

2

），p₂（

-3- 33

2

，

9+ 33

2

）．
②若PC是另外一條直角邊
∵點A是拋物線與x軸的另一交點，
∴點A的坐標為（-3，0）
連接AC，∵|OA|=|OC|，
∴∠OCA=45°，又∠OCN=45°
∴∠ACN=90°，
∴點A就是所求的點p₃（-3，0）
綜上所述，在拋物線上存在滿足條件的點，有3個，
分別為：P₁（

-3+ 33

2

，

9- 33

2

），p₂（

-3- 33

2

，

9+ 33

2

），p₃（-3，0）．

（3）若拋物線沿其對稱軸向上平移，
設向上平移b（b＞0）個單位可設函數(shù)表達式為y=x²+2x-3+b
由

y=x2+2x-3+b y=x-3

，
得x²+x+b=0．
∴要使拋物線與線段NQ總有交點，
必須△=1-4b≥0，即b≤

1

4

，
∴0＜b≤

1

4

∴若拋物線向上平移，最多可平移

1

4

個單位長度．
②若拋物線沿其對稱軸向下平移，設向下平移b（b＞0）個單位
可設函數(shù)表達式為y=x²+2x-3-b
∵當x=-3時，y=-b，當x=3時，y=12-b
易求得Q（-3，-6），又N（3，0）
∴要使拋物線與線段NQ總有交點，必須
-b≥-6或12-b≥0，即b≤6或b≤12
∴0＜b≤12
∴若拋物線沿其對稱軸向下平移，最多可平移12個單位長度
綜上可知，若拋物線沿其對稱軸向下平移，使拋物線與線段NQ總有公共點，
則向上最多可平移

1

4

個單位長度，向下最多可平移12個單位長度．

點評：本題的關鍵是在于根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)平移后解析式的變化情況，
要注意的是（2）中要分另一條直角邊的不同進行分類討論，不要漏解．