Question

（1）人教版八年級數學下冊92頁第14題是這樣敘述的：如圖1，?ABCD中，過對角線BD上一點P作EF∥BC，HG∥AB，圖中哪兩個平行四邊形的面積相等？為什么？
根據習題背景，寫出面積相等的一對平行四邊形的名稱為______和______；
（2）如圖2，點P為?ABCD內一點，過點P分別作AD、AB的平行線分別交?ABCD的四邊于點E、F、G、H．已知S_?BHPE=3，S_?PFDG=5，則S_△PAC=______；
（3）如圖3，若①②③④⑤五個平行四邊形拼成一個含30°內角的菱形EFGH（不重復、無縫隙）．已知①②③④四個平行四邊形面積的和為14，四邊形ABCD的面積為11，則菱形EFGH的周長為______．

Answer 1

解：（1）∵?ABCD中，EF∥BC，HG∥AB，
∴S_△ABD=S_△BCD，S_△PBE=S_△PBG，S_△PDH=S_△PDF，
∴S_?AEPH=S_?PGCF，S_?ABGH=S_?EBCF，S_?AEFD=S_?HGCD，
故答案為：?AEPH 和?PGCF 或?ABGH 和?EBCF 或?AEFD 和?HGCD；

（2）根據（1）可得：S_△ABC=S_△ADC，S_△PAE=S_△PAG，S_△PCH=S_△PCF，
∵S_?BHPE=3，S_?PFDG=5，
∴S_△PAC=S_△PAG+S_△PCF+S_?PFDG-S_△ACD=S_△PAG+S_△PCF+S_?PFDG-S_?ABCD=S_△PAG+S_△PCF+S_?PFDG-（2S_△PAG+2S_△PCF+S_?BHPE+S_?PFDG）=S_?PFDG-（S_?BHPE+S_?PFDG）=1；
故答案為：1；

（3）∵①②③④四個平行四邊形面積的和為14，
∴S₁+S₂+S₃+S₄=14，
∵四邊形ABCD的面積為11，
∴S₅=11-14×=4，
∴S_菱形EFGH=S₁+S₂+S₃+S₄+S₅=18，
∵菱形EFGH的一個內角為30°，
∴設邊長為x，
則x•xsin30°=18，
解得：x=6，
∴菱形EFGH的周長為24．
故答案為：24．
分析：（1）由?ABCD中，EF∥BC，HG∥AB，根據平行四邊形的性質，可得S_△ABD=S_△BCD，S_△PBE=S_△PBG，S_△PDH=S_△PDF，繼而可得S_?AEPH=S_?PGCF，S_?ABGH=S_?EBCF，S_?AEFD=S_?HGCD；
（2）由（1）可得：S_△ABC=S_△ADC，S_△PAE=S_△PAG，S_△PCH=S_△PCF，繼而可得S_△PAC=S_?PFDG-（S_?BHPE+S_?PFDG）；
（3）由①②③④四個平行四邊形面積的和為14，四邊形ABCD的面積為11，即可求得菱形EFGH的面積，繼而求得答案．
點評：此題考查了菱形的性質以及平行四邊形的性質．此題難度較大，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．