Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．

（1）求證：四邊形AECD是菱形；

（2）若點E是AB的中點，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】證明：

（1）∵AB∥CD，即AE∥CD，

又∵CE∥AD，∴四邊形AECD是平行四邊形. 2分

∵AC平分∠BAD，∴∠CAE＝∠CAD，

又∵AD∥CE，∴∠ACE＝∠CAD，

∴∠ACE＝∠CAE，

∴AE＝CE，

∴四邊形AECD是菱形；········· 4分

（2）證法一：∵E是AB中點，∴AE＝BE.

又∵AE＝CE，∴BE＝CE，∴∠B＝∠BCE，

∵∠B+∠BCA+∠BAC＝180°，

∴2∠BCE+2∠ACE＝180°，∴∠BCE+∠ACE＝90°.

即∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形.

證法二：連DE，則DE⊥AC，且平分AC，

設DE交AC于F，∵E是AB的中點，∴EF∥BC.

∴BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形.······· 8分

【解析】

試題（1）先根據平行四邊形的定義證得四邊形AECD是平行四邊形，根據平行線的性質可得∠ACE＝∠CAD，再結合角平分線的性質可得AE＝CE，從而證得結論；（2）由AE＝CE，AE＝BE可得BE＝CE，即可得到∠B＝∠BCE，由∠B＋∠BCA＋∠BAC＝180可得2∠BCE＋2∠ACE＝180，即可得到結果.

（1）∵AB∥CD， CE∥AD，

∴四邊形AECD是平行四邊形．

∵CE∥AD，

∴∠ACE＝∠CAD．

∵AC平分∠BAD，

∴∠CAE＝∠CAD．

∴∠ACE＝∠CAE，

∴AE＝CE．

∴四邊形AECD是菱形；

（2）∵AE＝CE，AE＝BE，

∴BE＝CE，

∴∠B＝∠BCE，

∵∠B＋∠BCA＋∠BAC＝180，

∴2∠BCE＋2∠ACE＝180，

∴∠BCE＋∠ACE＝90，即∠ACB＝90．

∴△ABC是直角三角形．