Question

【題目】如圖，拋物線C1：y=x2+bx+c經過原點，與x軸的另一個交點為（2，0），將拋物線C1向右平移m（m＞0）個單位得到拋物線C2 ， C2交x軸于A，B兩點（點A在點B的左邊），交y軸于點C．
（1）求拋物線C1的解析式及頂點坐標；
（2）以AC為斜邊向上作等腰直角三角形ACD，當點D落在拋物線C2的對稱軸上時，求拋物線C2的解析式；
（3）若拋物線C2的對稱軸存在點P，使△ PAC為等邊三角形，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線C1經過原點，與X軸的另一個交點為（2，0），

∴ ，解得 ，

∴拋物線C1的解析式為y=x2﹣2x，

∴拋物線C1的頂點坐標（1，﹣1）.

（2）解：如圖1，

∵拋物線C1向右平移m（m＞0）個單位得到拋物線C2，

∴C2的解析式為y=（x﹣m﹣1）2﹣1，

∴A（m，0），B（m+2，0），C（0，m2+2m），

過點C作CH⊥對稱軸DE，垂足為H，

∵△ACD為等腰直角三角形，

∴AD=CD，∠ADC=90°，

∴∠CDH+∠ADE=90°

∴∠HCD=∠ADE，

∵∠DEA=90°，

∴△CHD≌△DEA，

∴AE=HD=1，CH=DE=m+1，

∴EH=HD+DE=1+m+1=m+2，

由OC=EH得m2+2m=m+2，解得m1=1，m2=﹣2（舍去），

∴拋物線C2的解析式為：y=（x﹣2）2﹣1．

（3）解：如圖2，連接BC，BP，

由拋物線對稱性可知AP=BP，

∵△PAC為等邊三角形，

∴AP=BP=CP，∠APC=60°，

∴C，A，B三點在以點P為圓心，PA為半徑的圓上，

∴∠CBO= ∠CPA=30°，

∴BC=2OC，

∴由勾股定理得OB= = OC，

∴ （m2+2m）=m+2，

解得m1= ，m2=﹣2（舍去），∴m= ．

【解析】（1）把（0，0）及（2,，0）代入y=x2+bx+c，求出拋物線C1的解析式，即可求出拋物線C1的頂點坐標.
（2）先求出C2的解析式，確定A、B、C的坐標，過點C作CH⊥對稱軸DE，垂足為H，利用△ACD為等腰直角三角形，求出角的關系可證得△CHD≌△DEA，再由OC=EH列出方程求解得出m的值即可得出拋物線C2的解析式.
（3）連接BC，BP，由拋物線對稱性可知AP=BP，由△PAC為等邊三角形，可得AP=BP=CP，∠APC=60°，由C，A，B三點在以點P為圓心，PA為半徑的圓上，可得BC=2OC，利用勾股定理求出OB=OC，列出方程求出m的值即可.
【考點精析】利用二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．