Question

（本題滿分10分）如圖1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6. △ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，連接AE.AC和BE相交于點O.

（1）判斷四邊形ABCE是怎樣的四邊形，說明理由；

（2）如圖2，P是線段BC上一動點（圖2），（不與點B、C重合），連接PO并延長交線段AE于點Q，QR⊥BD，垂足為點R.

①四邊形PQED的面積是否隨點P的運動而發生變化？

若變化，請說明理由；若不變，求出四邊形PQED的面積；

②當線段BP的長為何值時，△PQR與△BOC相似？

 

 

Answer 1

 

 

（1）菱形（證明略）---------------3分

（2）①四邊形PQED的面積不發生變化，理由如下：

由菱形的對稱性知，△PBO≌△QEO，∴S_△PBO＝ S_△QEO，

∵△ECD是由△ABC平移得到得，∴ED∥AC，ED＝AC＝6，

又∵BE⊥AC，∴BE⊥ED，

∴S_{四邊形PQED}＝S_△QEO＋S_{四邊形POED}＝S_△PBO＋S_{四邊形POED}＝S_△BED

＝×BE×ED＝×8×6＝24. ---------------6分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

②如圖2，當點P在BC上運動，使△PQR與△COB相似時，

∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3，∴∠2不與∠3對應，∴∠2與∠1對應，

即∠2＝∠1，∴OP=OC=3， 過O作OG⊥BC于G，則G為PC的中點，△OGC∽△BOC，

∴CG:CO＝CO:BC，即：CG:3＝3:5，∴CG=，

∴PB＝BC－PC＝BC－2CG＝5－2×＝.

∴BD＝PB＋PR＋RF＋DF＝x＋＋x＋＝10，x＝.---------------10分

解析:本題主要考查菱形的有關知識，有一定難度。