Question

【題目】如圖，△ABC 是邊長為 6 cm 的等邊三角形，P 從點 A 岀發沿 AC 邊向 C 運動， 與此同時 Q 從 B 出發以相同的速度沿 CB 延長線方向運動．當 P 到達 C 點時，P、Q 停止運動， 連接 PQ 交 AB 于 D

（1）設 P、Q 的運動速度為 1 cm/s，當運動時間為多少時，∠BQD＝30°？

（2）過 P 作 PE⊥AB 于 E，在運動過程中線段 ED 的長是否發生變化？如果不變，求出線段 ED的長；如果變化請說明理由

Answer 1

【答案】(1) 運動時間為2s;(2) ED 的長不會發生變化，DE=3.

【解析】

(1) 根據三角形內角和為180, 可知△PQC為直角三角形, 根據特殊角的三角函數值即可求出AP的長后可得時間.

(2) 根據全等三角形的角角邊判定定理可得,Rt△ABE≌Rt△BQF,再由全等三角形對應邊相等可知:AE=BF,EP=QF, 因為EP//QF, 可知四邊形EPFQ是平行四邊形, 根據平行四邊形對角線互相平分可得: DE=EF.EB+AE=BE+BF=AB,DE=AB., 由于△ABC是不變的, AB是定長, 即可證明當點P、 Q運動時, 線段DE的長度不會改變.

解：(1)△ABC是邊長為6的等邊三角形,∠ACB=60.

∠BQD=30,∠QPC=90.

設AP=x,則PC=6-x,QB=x,

QC=QB+BC=6+x，PC=AC-AP=6-x，

在Rt△QCP中, ∠BQD=30,

PC=QC,即6-x= (6+x),

解得x=2，

又 P、Q 的運動速度為 1 cm/s，

運動的時間為2s；

(2) 當點P、 Q運動時, 線段ED的長度不會改變.理由如下:作QF⊥AB, 交直線AB的延長線于點F,連接QE,PF.

PE⊥AB于E,∠DFQ=∠AEP=90.

點P、Q做勻速運動且速度相同,AP=BQ.

△ABC是等邊三角形,

∠A=∠ABC=∠FBQ=60.

在△APE和△BQF中,

∠A=∠FBQ,AP=BQ,∠AEP=∠BFQ=90,

△APE≌△BQF (AAS).

AE=BF,PE=QF且PE∥QF.

四邊形PEQF是平行四邊形。

DE=EF.

EB+AE=BE+BF=AB,

DE=AB.

又等邊△ABC的邊長為6, DE=3.

當點P、Q運動時, 線段ED的長度不會改變.