Question

（2013•樂山模擬）如圖甲，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分別為B、P、D，且三個垂足在同一直線上，我們把這樣的圖形叫“三垂圖”．

（1）證明：AB•CD=PB•PD．
（2）如圖乙，也是一個“三垂圖”，上述結論成立嗎？請說明理由．
（3）已知拋物線與x軸交于點A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點（0，-3），頂點為P，如圖丙所示，若Q是拋物線上異于A、B、P的點，使得∠QAP=90°，求Q點坐標．

Answer 1

分析：（1）根據同角的余角相等求出∠A=∠CPD，然后求出△ABP和△PCD相似，再根據相似三角形對應邊成比例列式整理即可得證；
（2）與（1）的證明思路相同；
（3）利用待定系數法求出二次函數解析式，根據拋物線解析式求出點P的坐標，再過點P作PC⊥x軸于C，設AQ與y軸相交于D，然后求出PC、AC的長，再根據（2）的結論求出OD的長，從而得到點D的坐標，利用待定系數法求出直線AD的解析式，與拋物線解析式聯立求解即可得到點Q的坐標．

解答：（1）證明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠APB=90°，
∵AP⊥PC，
∴∠APB+∠CPD=90°，
∴∠A=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴

AB

PD

=

PB

CD

，
∴AB•CD=PB•PD；

（2）AB•CD=PB•PD仍然成立．
理由如下：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠CDP=90°，
∴∠A+∠APB=90°，
∵AP⊥PC，
∴∠APB+∠CPD=90°，
∴∠A=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴

AB

PD

=

PB

CD

，
∴AB•CD=PB•PD；

（3）設拋物線解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
∵拋物線與x軸交于點A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點（0，-3），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=-2 c=-3

，
所以，y=x²-2x-3，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴頂點P的坐標為（1，-4），
過點P作PC⊥x軸于C，設AQ與y軸相交于D，
則AO=1，AC=1+1=2，PC=4，
根據（2）的結論，AO•AC=OD•PC，
∴1×2=OD•4，
解得OD=

1

2

，
∴點D的坐標為（0，

1

2

），
設直線AD的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

-k+b=0 b= 1 2

，
解得

k= 1 2 b= 1 2

，
所以，y=

1

2

x+

1

2

，
聯立

y= 1 2 x+ 1 2 y=x2-2x-3

，
解得

x1= 7 2 y1= 9 4

，

x2=-1 y2=0

（為點A坐標，舍去），
所以，點Q的坐標為（

7

2

，

9

4

）．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了相似三角形的判定與性質，待定系數法求二次函數解析式，待定系數法求一次函數解析式，聯立兩函數解析式求交點坐標，綜合題，但難度不大，根據同角的余角相等求出兩個角相等得到兩三角形相似是解題的關鍵．