Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，過對角線BD中點的直線交AD、BC邊于F、E．
（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；
（2）當四邊形BEDF是菱形時，寫出EF與BD的關系．
（3）若∠A=60°，AB=4，BC=6，四邊形BEDF是矩形，求該矩形的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，O是BD中點，

∴BC∥AD，OB=OD，

∴∠OBE=∠ODF，

又∵∠BOE=∠DOF，

∴△BOE≌△DOF（ASA），

∴EO=FO，

∴四邊形BEDF是平行四邊形

（2）解：當四邊形BEDF是菱形時，根據菱形的性質可得：EF與BD互相垂直平分
（3）解：∵四邊形BEDF是矩形

∴∠AFB=90°

又∵∠A=60°，

∴∠ABF=30°，

∴AF= AB= ×4=2，

∴Rt△ABF中，BF=2 ，

又∵AD=BC=6，

∴DF=6﹣2=4，

∴矩形BEDF的面積=BF×DF=2 ×4=8 ．

【解析】（1）根據平行四邊形ABCD的性質，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四邊形BEDF的對角線互相平分，進而得出結論；（2）根據根據菱形的性質作出判斷：EF與BD互相垂直平分；（3）根據Rt△ABF的邊角關系，求得BF和AF，再根據矩形的性質，求得DF的長，最后計算矩形的面積．
【考點精析】掌握平行四邊形的判定與性質和矩形的性質是解答本題的根本，需要知道若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．