Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，動點P從點C出發沿CD方向向點D運動，動點Q同時以相同速度從點D出發沿DA方向向終點A運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動. （1）求AD的長； （2）設CP=x，問當x為何值時△PDQ的面積達到最大，并求出最大值； （3）探究：在BC邊上是否存在點M使得四邊形PDQM是菱形？若存在，請找出點M，并求出BM的長；不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）如圖1過A作AE⊥CD，垂足為E . 依題意，DE= 在Rt△ADE中，AD=； （2）∵CP=x，h為PD邊上的高,依題意，△PDQ的面積S可表示為： S=PD·h = = = 由題意，知0≤x≤5 . 當x=時（滿足0≤x≤5），S最大值=； （3）假設存在滿足條件的點M，則PD必須等于DQ . 于是9-x=x，x=  此時，點P、Q的位置如圖3所示，連QP . △PDQ恰為等邊三角形 . 過點Q作QM∥DC，交BC于M， 點M即為所求. 連結MP，以下證明四邊形PDQM是菱形 . 易證△MCP≌△QDP， ∴∠D=∠3 . MP=PD ∴MP∥QD , ∴四邊形PDQM是平行四邊形 . 又MP=PD , ∴四邊形PDQM是菱形 . 所以存在滿足條件的點M，且BM=BC-MC=5-=.