Question

【題目】如圖1，已知：△ABD∽△ACE，∠ABD=∠ACE=90°，連接DE，O是DE的中點。

（1）連接OC,OB 求證：OB=OC；

（2）將△ACE繞頂點A逆時針旋轉到圖2的位置，過點E作EM∥AD交射線AB于點M，交射線AC于點N,連接DM,BC. 若DE的中點O恰好在AB上。

①求證：△ADM∽△AEN

②求證：BC∥AD

③若AC=BD=3,AB=4,△ACE繞頂點A旋轉的過程中，是否存在四邊形ADME矩形的情況？如果存在，直接寫出此時BC的值，若不存在說明理由。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②詳見解析；③存在四邊形ADME為矩形，此時BC=

【解析】

（1）延長CO交BD于點F，可證△CEO≌△FDO，則OC=OF，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求解；
（2）①根據平行的性質得∠DAM=∠EMA，可證△AOD≌△MOE，則AD=EM，根據平行四邊形的判定定理可判斷ADME是平行四邊形，由平行四邊形的性質可得∠ADM=∠AEN，由△ABD∽△ACE可得∠BAD=∠CAE，即可證△ADM∽△AEN；

②根據相似三角形對應邊成比例可得 ，由比例的性質得 ，因為∠MAN=∠BAC，根據相似三角形的判定定理可證出△AMN∽△ABC，則∠AMN=∠ABC，根據同位角相等，兩直線平行可得MN∥BC，根據平行于同一條直線的兩直線平行可得BC∥AD；

③存在四邊形ADME為矩形，此時BC=，如圖，延長BC交AE于F，求出BF= ，CF= ，即可求得BC的值.

解：（1）延長CO交BD于點F

∵∠ABD=∠ACE=90°

∴CE∥BD

∴∠CEO=∠FDO

∵O是DE的中點

∴OE=OD

∵∠COE=∠DOF

∴△CEO≌△FDO

∴OC=OF

∵∠CBF=90°

∴BO=CF=OC ；

(2)①∵O是DE的中點

∴OE=OD

∵EM∥AD

∴∠DAM=∠EMA

∵∠AOD=∠MOE

∴△AOD≌△MOE

∴AD=EM

∵EM∥AD

∴四邊形ADME是平行四邊形

∴∠ADM=∠AEN

∵△ABD∽△ACE

∴∠BAD=∠CAE

∴△ADM∽△AEN ；

②∵△ADM∽△AEN

∴

∵△ABD∽△ACE

∴

∴

∴

∵∠MAN=∠BAC

∴△AMN∽△ABC

∴∠AMN=∠ABC

∴MN∥BC

∵MN∥AD

∴BC∥AD ；

③ 如圖，存在四邊形ADME為矩形，此時BC= .

故答案為：（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②詳見解析；③存在四邊形ADME為矩形，此時BC= .