Question

【題目】已知：在中， ， 平分交于點，點在線段上（點不與點、重合），且．

（）如圖，若，且，則__________， __________．

（）如圖，①求證： ．

②若，且，求的度數．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）①見解析；②

【解析】試題分析：（1）由等腰三角形的性質得到∠EBC=∠ECB=27°，根據角平分線的性質得到∠DEB=∠EBC+∠ECB=54°，再由角平分線的性質得到∠ACD=∠ECB=27°，因為∠EAC=2∠EBC=54°，求得∠AEC=180°-27°-54°=99°；

（2）在CB上截取CF，使CF=CA，連接EF，構造全等三角形，由全等三角形的性質推出AE=FE，再根據FB=FE，得到AE=FB，即可得出AE+AC=FB+FC=BC；

（3）在CB上截取CF，使CF=CA，連接EF，連接AF，由∠ECB=30°，得到∠ACB=60°，于是推出△AFC是等邊三角形，通過三角形全等得到∠EBC=∠FAE，由∠FAC=60°，得到∠EAC=2∠EBC=2∠FAE，于是得出∠EBC的度數．

試題解析：解：（1）∵EB=EC，∴∠EBC=∠ECB=27°，∴∠DEB=∠EBC+∠ECB=54°．

∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECB=27°．

∵∠EAC=2∠EBC=54°，∴∠AEC=180°-27°-54°=99°．

故答案為：54°，99°．

（2）①證明：如圖1，在BC上取一點M，使BM=ME，∴∠MBE=∠MEB．

∵∠EAC=2∠MBE，∠EMC=∠MBE+∠MEB=2∠MBE，∴∠EAC=∠EMC．

在△ACE與△MCE中，∵∠CAE=∠CME，∠ACE=∠MCE，CE=CE，∴△ACE≌△MCE(AAS)，∴AE=ME， AC =CM，∴AE=BM，∴BC=BM+CM=AE+AC．

②如圖2在BC上取一點M，使BM=ME，連接AM．

∵∠ECB=30°，∴∠ACB=60°，由①可知，△AMC是等邊三角形（M點與B點重合），∴AM=AC=BE．

在△EMB與△MEA中，∵AE=BM，EM=EM，AM=BE，∴△EMB≌△MEA，∴∠EBC=∠MAE．

∵∠MAC=60°，∠EAC=2∠EBC=2∠MAE，∴∠MAE=20°，∠EAC=40°，∴∠EBC=20°．