Question

數形結合作為一種數學思想方法，數形結合的應用大致又可分為兩種情形：或者借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，即 “以數解形”；或者借助形的幾何直觀性來闡明數之間的某種關系，即 “以形助數”。                                                             

如浙教版九上課本第109頁作業題第2題：如圖1，已知在△ABC中，∠ACB=90⁰，CD⊥AB，D為垂足。易證得兩個結論：(1)AC·BC = AB·CD   (2)AC²= AD·AB

（1）請你用數形結合的“以數解形”思想來解：如圖2，已知在△ABC中（AC>BC），∠ACB=90⁰，CD⊥AB，D為垂足， CM平分∠ACB,且BC、AC是方程x²-14x+48=0的兩個根，求AD、MD的長。

（2）請你用數形結合的“以形助數”思想來解： 設a、b、c、d都是正數，滿足a：b=c：d,且a最大。求證：a+d>b+c（提示：不訪設AB=a,CD=d,AC=b,BC=c，構造圖1）

Answer 1

解：（1）顯然，方程x²-14x+48=0的兩根為6和8，

又AC>BC
∴AC=8，BC=6
由勾股定理AB=10
△ACD∽△ABC，得AC²= AD·AB
∴AD=6.4   
∵CM平分∠ACB
∴AM：MB=AC：CB
解得，AM=
∴MD=AD-AM=

（2）解：不訪設AB=a,CD=d,AC=b,BC=c

由三角形面積公式，得AB·CD=AC·BC
2AB·CD=2AC·BC        

又勾股定理，得AB²=AC²+BC²
∴AB²+2AB·CD =AC²+BC²+2AC·BC(等式性質)
∴AB²+2AB·CD =（AC+BC）²

∴AB²+2AB·CD+CD² >（AC+BC）²

∴(AB+CD) ² >（AC+BC）²
又AB、CD、AC、BC均大于零
∴AB+CD>AC+BC即a+d>b+c