Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，點D，E，F分別是AB，BC，CA上的點．

(1)若AD＝BE＝CF，問△DEF是等邊三角形嗎？試證明你的結論；

(2)若△DEF是等邊三角形，問AD＝BE＝CF成立嗎？試證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）△DEF是等邊三角形，證明見解析；（2）AD＝BE＝CF成立，證明見解析.

【解析】試題分析：(1)由SAS易證△ADF≌△BED≌△CFE，所以DF=DE=EF，即△DEF是等邊三角形；

(2)先證明∠1+∠2=120°，∠2+∠3=120°．可得∠1=∠3．同理∠3=∠4．則△ADF≌△BED≌△CFE，故能證明AD=BE=CF.

解：(1)△DEF是等邊三角形．證明如下：

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C，AB＝BC＝CA.

又∵AD＝BE＝CF，

∴DB＝EC＝FA.

∴△ADF≌△BED≌△CFE，

∴DF＝ED＝FE.∴△DEF是等邊三角形．

(2)AD＝BE＝CF成立．證明如下：如圖，∵△DEF是等邊三角形，∴DE＝EF＝FD，∠FDE＝∠DEF＝∠EFD＝60°.∴∠1＋∠2＝120°.∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠2＋∠3＝120°，∴∠1＝∠3.同理∠3＝∠4，易證△ADF≌△BED≌△CFE(AAS)，∴AD＝BE＝CF.