Question

拋物線y=ax²+bx-4a經過A（1，0）、C（0，4）兩點，與x軸交于另一點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點D（m，1-m）在第二象限的拋物線上，求點D關于直線BC的對稱點的坐標；
（3）在（2）的條件下，連接BD，點P為拋物線上一點，且∠DBP=45°，求出點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y=ax²+bx-4a經過A（1，0）、C（0，4）兩點，利用待定系數法即可求得拋物線的解析式；
（2）由點D（m，1-m）在拋物線y=-x²-3x+4上，即可求得點D的坐標，則可求得∠CBO的度數，然后過點D作DE⊥BC于E，延長DE交y軸于F，又由點F即為點D關于直線BC的對稱點，即可求得點F的坐標；
（3）由∠CDB＞90°，∠BCD=45°，可得點P在直線BC下方的拋物線上．然后在Rt△DCE中與Rt△BCO中，Rt△BDE中，由三角函數的知識求得∠PBO的正切值，然后過點P作PM⊥x軸于M，在Rt△BDE中，利用三角函數的知識即可求得點P的坐標．

解答：解：（1）拋物線y=ax²+bx-4a經過A（1，0）、C（0，4）兩點，
∴

a+b-4a=0 -4a=4.

（1分）
解得

a=-1 b=-3.

∴此拋物線的解析式為y=-x²-3x+4．（2分）

（2）∵點D（m，1-m）在拋物線y=-x²-3x+4上，
∴-m²-3m+4=1-m，
解之，得m₁=-3，m₂=1．
∵點D在第二象限，
∴D（-3，4）．（3分）
令y=-x²-3x+4=0，
得x₁=1，x₂=-4．
∴B（-4，0）．
∴∠CBO=45°．
連接DC，
易知DC∥BA，DC⊥CO，DC=3，
∴∠DCB=∠CBO=45°．
∴∠BCD=45°．
過點D作DE⊥BC于E，延長DE交y軸于F，
∴∠D=45°．
∴∠CFE=45°．
∴DE=CE=EF．
∴點F即為點D關于直線BC的對稱點．（4分）
∴CD=CF=3．
∴F（0，1）．（5分）

（3）∵∠CDB＞90°，∠BCD=45°，
∴∠DBC＜45°
∵∠DBP=45°，
∴點P在直線BC下方的拋物線上．
在Rt△DCE中，DC=3，∠DCE=45°，
∴DE=EC=

3 2

2

．
在Rt△BCO中，OB=OC=4，
∴BC=4

2

．
∴BE=

5 2

2

．
∴在Rt△BDE中，tan∠DBE=

3

5

．
∵∠DBP=∠CBO=45°，
∴∠DBC=∠PBO．（6分）
∴tan∠DBC=tan∠PBO=

3

5

．
過點P作PM⊥x軸于M，
∴在Rt△BDE中，tan∠PBO=

PM

BM

=

3

5

．
設PM=3t，則BM=5t，
∴OM=5t-4．
∴P（5t-4，3t）．（7分）
∴-（5t-4）²-3（5t-4）+4=3t．
解得t₁=0，t₂=

22

25

．
∴P（

2

5

，

66

25

）．（8分）

點評：此題考查了待定系數法求二次函數的解析式，點的對稱性，直角三角形的性質以及三角函數的知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是方程思想、轉化思想與數形結合思想的應用．