Question

【題目】在四邊形ABCD中，，，AC與BD交于點F．

(1) 如圖1，求證：判斷的形狀并證明你的結論

(2) 如圖2，若，且，猜想：和的數量關系并證明

(3) 如圖3，若，點E在AD上，，，，則BD＝_____

Answer 1

【答案】（1）是等腰三角形，證明見解析；（2），證明見解析；（3）8．

【解析】

（1）如圖（見解析），延長BC至點G，使，連接DG，先根據平行四邊形的判定與性質得出，再根據平行線的性質可得，然后根據等腰三角形的性質得出，最后根據等量代換可得，由此即可得；

（2）如圖（見解析），設，則，先根據等腰三角形的三線合一得出，，再根據等腰直角三角形的判定與性質得出，從而得出，然后根據角平分線的判定得出，最后根據等量代換即可得；

（3）如圖（見解析），設，先利用平行線的性質、等腰三角形的性質可推出，，再設，從而可得，然后根據，在中利用直角三角形的性質可得DG、KG的長，從而在中，利用勾股定理可求出BG的長，由此即可得出答案．

（1）是等腰三角形，證明如下：

如圖，延長BC至點G，使，連接DG

四邊形ADGC是平行四邊形

是等腰三角形；

（2），證明如下：

如圖，過點B作于點H，過點F作于點E

設，則

由（1）知，是等腰三角形

，（等腰三角形的三線合一）

是等腰直角三角形

（角平分線的判定）

即；

（3）如圖，延長CE、BA交于點H，延長BC至點K，使，連接DK，過點K作于點G

設

，

，即，

四邊形EDKC是平行四邊形

，

設，則，

故答案為：8．