Question

已知等腰直角三角形ABC中，D為斜邊BC上一點，過D點作DE⊥BC交AB于E，連接CE，F為CE中點，連接AF、DF．
（1）求證：AF=DF；
（2）將圖①中△BDE繞點B順時針旋轉45°，如圖②所示，取CE的中點F，連接AF、DF，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）將圖①中△BDE繞B點旋轉任意角度，如圖③所示，再連接相應的線段，則（1）中的結論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結論？（均不要求證明）

Answer 1

分析：（1）要證明AF=DF，從圖上及已知條件很容易得出利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到結論．
（2）是一個結論猜想試題，根據第一問的結論和條件作出猜想，就要想法證明這兩條線段所在的三角形全等，圖中沒有全等三角形就要利用輔助線，利用45°角制造全等三角形解決問題．
（3）它是在前兩問的基礎上作出判斷．

解答：
解：（1）∵∠EAC=90°F為EC的中點
∴AF=

1

2

EC
∵∠EDC=90°F為EC的中點
∴DF=

1

2

EC
∴AF=DF；

（2）仍然成立
∵FG⊥BC，AC⊥BA
∴∠GFC=∠GAH=90°
∵∠C=∠ABC=45°
∴△GFC、△GAH、△BFH均為等腰直角三角形
∵F為EC的中點
∴EF=FG=FC
∵BF=FH
∴BF-EF=FH-FG
即BE=HG，易得△BDE≌△HAG
∴BD=AH
∵∠DBF=∠H=45°，BF=FH
∴△BDF≌△HAF
∴AF=DF；

（3）（1）的結論仍然成立．即AF=DF
還發現AF⊥DF．

點評：本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的運用及輔助線的作法等多個知識點，是一道綜合性較強的幾何題．每小問之間是步步加難，層層遞進．