Question

【題目】如圖，在等腰直角三角形中，，，是的中點，，分別是，上的點(點不與端點重合)，且，連接并取的中點，連接并延長至點，使，連接.

(1)求證：四邊形是正方形；

(2)當點在什么位置是，四邊形的面積最小？并求四邊形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當點E為線段AC的中點時，四邊形EDFG的面積最小，該最小值為4.

【解析】

試題分析：（1）連接CD，根據等腰直角三角形的性質可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，結合AE=CF可證出△ADE≌△CDF（SAS），根據全等三角形的性質可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通過角的計算可得出∠EDF=90°，再根據O為EF的中點、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可證出四邊形EDFG是正方形；

（2）過點D作DE′⊥AC于E′，根據等腰直角三角形的性質可得出DE′的長度，從而得出2≤DE＜2，再根據正方形的面積公式即可得出四邊形EDFG的面積的最小值．

試題解析：（1）證明：連接CD，如圖1所示．

∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是AB的中點，

∴∠A=∠DCF=45°，AD=CD．

在△ADE和△CDF中，，

∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．

∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，

∴△EDF為等腰直角三角形．

∵O為EF的中點，GO=OD，∴GD⊥EF，且GD=2OD=EF，

∴四邊形EDFG是正方形；

（2）解：過點D作DE′⊥AC于E′，如圖2所示．

∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，

∴DE′=BC=2，AB=4，點E′為AC的中點，

∴2≤DE＜2（點E與點E′重合時取等號）．

∴4≤S四邊形EDFG=DE2＜8．

∴當點E為線段AC的中點時，四邊形EDFG的面積最小，該最小值為4．