Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）若AD=2，BC=6，AB=8，且以A，D，P為頂點(diǎn)的三角形與以B，C，P為頂點(diǎn)的三角形相似，求AP的長(zhǎng)；

（2）若AD=a，BC=b，AB=m，則當(dāng)a，b，m滿足什么關(guān)系時(shí)，一定存在點(diǎn)P使△ADP∽△BPC？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）2或8；（2）m2﹣4ab≥0；理由見(jiàn)解析；

【解析】

(1)分和兩種情形構(gòu)建方程求解即可;

(2)由△ADP∽△BPC,可得=,即,整理得: x2﹣mx+ab=0,根據(jù)題意△≥0,即可解決問(wèn)題;

（1）設(shè)AP=x．

∵以A，D，P為頂點(diǎn)的三角形與以B，C，P為頂點(diǎn)的三角形相似，

①當(dāng)=時(shí)，=，解得x=2或8．

②當(dāng)時(shí)，，解得x=2，

∴當(dāng)A，D，P為頂點(diǎn)的三角形與以B，C，P為頂點(diǎn)的三角形相似，AP的值為2或8；

（2）設(shè)PA=x，

∵△ADP∽△BPC，

∴=，

∴=，

整理得：x2﹣mx+ab=0，

由題意△≥0，

∴m2﹣4ab≥0．

∴當(dāng)a，b，m滿足m2﹣4ab≥0時(shí)，一定存在點(diǎn)P使△ADP∽△BPC．