Question

【題目】已知：二次函數y=ax2+bx的圖象經過點M（1，n）、N（3，n）．
（1）求b與a之間的關系式；
（2）若二次函數y=ax2+bx的圖象與x軸交于點A、B，頂點為C，△ABC為直角三角形，求該二次函數的關系式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵圖象經過M（1，n）、N（3，n），

∴圖象的對稱軸為直線x=2，

∴﹣ =2，所以b=﹣4a；

（2）解：y=ax2﹣4ax的圖象與x軸交于點A（0，0）、B（4，0），

∵△ABC為直角三角形，

∴頂點C坐標為（2，2）或（2，﹣2），

代入得4a﹣8a=2或4a﹣8a=﹣2，

∴a=﹣ 或 ，

∴該二次函數的關系式為：y=﹣ x2+2x或y= x2﹣2x．

【解析】（1）直接利用二次函數對稱性得出對稱軸，進而得出答案；（2）利用等腰直角三角形的性質得出C點坐標，進而得出答案．
【考點精析】利用拋物線與坐標軸的交點對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．