Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點E在⊙O上，C為的中點，過點C作直線CD⊥AE于D，連接AC，BC．

（1）試判斷直線CD與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若AD=2，AC=，求AB的長．

Answer 1

【答案】（1）相切；（2）3．

【解析】

試題分析：（1）連接OC，由C為的中點，得到∠1=∠2，等量代換得到∠2=∠ACO，根據平行線的性質得到OC⊥CD，即可得到結論；

（2）連接CE，由勾股定理得到CD的長，根據切割線定理得到=ADDE，根據勾股定理得到CE的長，由圓周角定理得到∠ACB=90°，即可得到結論．

試題解析：（1）相切，連接OC，∵C為的中點，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠1=∠ACO，∴∠2=∠ACO，∴AD∥OC，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∴直線CD與⊙O相切；

（2）方法1：連接CE，∵AD=2，AC=，∵∠ADC=90°，∴CD==，∵CD是⊙O的切線，∴=ADDE，∴DE=1，∴CE==，∵C為的中點，∴BC=CE=，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴AB==3．

方法2：∵∠DCA=∠B，易得△ADC∽△ACB，∴，∴AB=3．