Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，，E為CD邊的中點，將繞點E順時針旋轉，點D的對應點為C，點A的對應點為F，過點E作交BC于點M，連接AM、BD交于點N，現有下列結論：；；；點N為的外心．其中正確的個數為　　

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】B

【解析】分析：

（1）由旋轉的性質易得AD=FC，AE=FE，結合ME⊥AF可得AM=MF，結合MF=MC+CF即可得到結論①成立；（2）假設AM=DE+BM成立，則結合（1）可推得CE=2MC，但由題中條件不能得到CE=2MC一定成立，故結論②不成立；（3）由已知條件證△ADE∽△ECM，結合DE=CE即可證得結論③成立；（4）過點M作MF⊥AD于點F，連接BF交AM于點Q，則易證點Q是AM的中點，由此可得點N不是AM的中點，從而可得結論④不成立；綜合（1）--（4）即可得到所求答案.

詳解：

（1）∵△CEF是由△DEA繞點E旋轉180°得到的，

∴AD=FC，AE=FE，DE=CE，

又∵ME⊥AF，

∴AM=MF，

∵MF=MC+CF，

∴AM=AD+MC，即結論①成立；

（2）假設AM=DE+BM成立，

∵由（1）可知AM=AD+MC，

∴AD+MC=DE+BM,

又∵AD=BC=BM+MC，DE=CE，

∴BM+MC+MC=BM+CE，

∴2MC=CE，

∵由題中條件不能確定CE=2MC成立，

∴AM=DE+BM不一定成立，故結論②不成立；

（3）∵ME⊥AF，四邊形ABCD是矩形，

∴∠ADE=∠MEF=∠ECM=90°，

∴∠MEC+∠EMC=90°，∠EMC+∠F=90°，

∴∠MEC=∠F，

∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠F，

∴∠DAE=∠MEC，

∴△ADE∽△ECM，

∴AD：EC=DE：CM，

∴EC·DE=AD·CM，

又∵EC=DE，

∴DE2=AD·CM，故結論③成立；

（4）如下圖，過點M作MF⊥AD于點F，連接BF交AM于點Q，

∴∠ABM=∠BAF=∠AFM=90°，

∴四邊形ABMF是矩形，

∴點Q是AM的中點，

∴點Q是△ABM的外心，

∵點Q與點N不重合，

∴點N不是△ABM的外心，故結論④不成立.

綜上所述，上述4個結論中，成立的是①③，共2個.

故選B.