Question

【題目】如圖1，已知ABCD，AB∥x軸，AB＝6，點A的坐標為（1，﹣4），點D的坐標為（﹣3，4），點B在第四象限，點P是ABCD邊上的一個動點．

（1）若點P在邊BC上，PD＝CD，求點P的坐標．

（2）若點P在邊AB，AD上，點P關于坐標軸對稱的點Q落在直線y＝x﹣1上，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（3，4）（2）點P的坐標為（﹣3，4）或（﹣1，0）或（5，﹣4）或（3，﹣4）

【解析】

（1）由題意點P與點C重合，可得點P坐標為（3，4）；（2）分兩種情形①當點P在邊AD上時，②當點P在邊AB上時，假設出P點坐標，在每種情況中再分情況討論，分別求出點P關于x軸和y軸的對稱點，代入直線解析式列出方程即可解決問題；

（1）∵點A的坐標為（1，﹣4），點D的坐標為（﹣3，4），點B在第四象限，

∴∠DCB>90°，即PD為最長邊，

∵PD=CD，

∴點P與點C重合，

∵CD＝AB=6，D（-3，4），

∴點P坐標為（3，4）．

（2）①當點P在邊AD上時，

∵A（1，-4），D（-3，4），

∴直線AD的解析式為y＝﹣2x﹣2，

設P（a，﹣2a﹣2），且﹣3≤a≤1，

∴點P關于x軸的對稱點為Q1（a，2a+2），

∵Q1在直線y＝x﹣1上，

∴2a+2＝a﹣1，

解得a＝﹣3，

此時P（﹣3，4）．

∵點P關于y軸的對稱點為Q3（﹣a，﹣2a﹣2），且Q3在直線y＝x﹣1上時，

∴﹣2a﹣2＝﹣a﹣1，

解得a＝﹣1，

此時P（﹣1，0）

②當點P在邊AB上時，設P（a，﹣4）且1≤a≤7，

∵P關于x軸的對稱點為Q2（a，4），且Q2在直線y＝x﹣1上，

∴4＝a﹣1，

解得a＝5，

此時P（5，﹣4），

∵點P關于y軸的對稱點為Q4（﹣a，﹣4），且Q4在直線y＝x﹣1上，

∴﹣4＝﹣a﹣1，

解得a＝3，

此時P（3，﹣4），

綜上所述，點P的坐標為（﹣3，4）或（﹣1，0）或（5，﹣4）或（3，﹣4）．