Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．動點P從點A開始沿折線AC－CB－BA運動，點P在AC，CB，BA邊上運動的速度分別為每秒3，4，5個單位．直線l從與AC重合的位置開始，以每秒個單位的速度沿CB方向移動，移動過程中保持l∥AC，且分別與CB，AB邊交于E，F兩點，點P與直線l同時出發，設運動的時間為t秒，當點P第一次回到點A時，點P和直線l同時停止運動．

（1）當t＝5秒時，點P走過的路徑長為_________；當t＝_________秒時，點P與點E重合；

（2）當點P在AC邊上運動時，連結PE，并過點E作AB的垂線，垂足為H. 若以C、P、E為頂點的三角形與△EFH相似，試求線段EH的值；

（3）當點P在折線AC－CB－BA上運動時，作點P關于直線EF的對稱點Q．在運動過程中，若形成的四邊形PEQF為菱形，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）19；3 ；（2）EH=或；（3）滿足要求的t值為t＝，

【解析】（1）19；3

（2）注意到△EFH為直角邊3:4的直角三角形，若△CPE與之相似，也應如此.

而CP＝6－3t，CE＝t，分別令CP:CE＝3:4或4:3，解得t＝或

當t＝時，EH＝；當t＝時，EH＝

（3）當點P在AC上運動時，若四邊形PEQF為菱形，連結PQ，則PQ垂直平分EF.

故有EF＝2CP，于是 (8－t)＝2(6－3t)，解得t＝＜2，符合

當點 P在CB上運動時，顯然不構成四邊形.

當點 P在BA上運動時，若四邊形PEQF為菱形，有4＜t＜，且PE＝PF.

在Rt△BEF中，可知P為BF的中點，故有BF＝2BP，于是 (8－t)＝2×5(t－4)，

解得t＝，也符合

綜上所述，滿足要求的t值有兩個，t＝，