Question

【題目】如圖1，點O為正方形ABCD 的中心，E為AB 邊上一點，F為BC邊上一點，△EBF的周長等于 BC 的長.

（1）求∠EOF 的度數.

（2）連接 OA、OC（如圖2）.求證：△AOE∽△CFO.

（3）若OE=OF，求的值.

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）證明見解析；（3）

【解析】分析：(1)、在BC上取一點G，使得CG=BE，連接OB、OC、OG，然后證明△OBE和△OCG全等，從而得出∠BOE＝∠COG，∠BEO＝∠CGO，OE＝OG，根據三角形的周長得出EF=GF，從而得出△FOE和△GOF全等，得出∠EOF的度數；(2)、連接OA，根據點O為正方形ABCD的中心得出∠OAE=∠FCO=45°，結合∠BOE=∠COG得出∠AEO=∠COF，從而得出三角形相似；(3)、根據相似得出線段比，根據相似比求出AE和CO的關系，CF和AO的關系，從而得出答案．

詳解：解：(1)、如圖，在BC上取一點G，使得CG=BE，連接OB、OC、OG.

∵點O為正方形ABCD的中心， ∴ OB=OC，∠BOC＝90°，∠OBE＝∠OCG＝45°．

∴△OBE≌△OCG（SAS）. ∴∠BOE＝∠COG，∠BEO＝∠CGO，OE＝OG.

∴∠EOG＝90°，∵△BEF的周長等于BC的長，

∴ EF＝GF. ∴△EOF≌△GOF（SSS）.∴∠EOF＝∠GOF＝45°．

(2)、連接OA．∵ 點O為正方形ABCD的中心， ∴∠OAE＝∠FCO＝45°．

∵∠BOE＝∠COG， ∠AEO＝∠BOE＋∠OBE＝∠BOE＋45°，

∠COF＝∠COG＋∠GOF＝∠COG＋45°． ∴ ∠AEO＝∠COF，且∠OAE＝∠FCO．

∴ △AOE∽△CFO．

(3)、∵△AOE∽△CFO，∴＝＝．即AE＝ ×CO，CF＝AO÷．

∵OE＝OF，∴＝．∴AE＝CO，CF＝AO． ∴＝．