Question

【題目】如圖，AC是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，點P是⊙O外一點，連接PB、AB，∠PBA＝∠C．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）連接OP，若OP∥BC，且OP＝4，⊙O的半徑為，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BC=1；

【解析】

（1）連接OB，由圓周角定理得出∠ABC＝90°，得出∠C＋∠BAC＝90°，再由OA＝OB，得出∠BAC＝∠OBA，證出∠PBA＋∠OBA＝90°，即可得出結論；

（2）證明△ABC∽△PBO，得出對應邊成比例，即可求出BC的長．

（1）連接OB，如圖所示：

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ABC＝90°，

∴∠CBO+∠OBA＝90°，

∵OC＝OB，

∴∠C＝∠CBO，

∴∠C+∠OBA＝90°，

∵∠PBA＝∠C，

∴∠PBA+∠OBA＝90°，

即PB⊥OB，

∴PB是⊙O的切線；

（2）∵⊙O的半徑為，

∴OB＝，AC＝2，

∵OP∥BC，

∴∠C＝∠CBO＝∠BOP，

又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，

∴△ABC∽△PBO，

∴，

即，

∴BC＝1．