Question

【題目】如圖，點E、F、G、H分別在菱形ABCD的四條邊上，且BE=BF=DG=DH，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE得到四邊形EFGH．
（1）求證：四邊形EFGH是矩形；
（2）設(shè)AB=a，∠A=60°，當BE為何值時，矩形EFGH的面積最大？

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵DG=DH，

∴∠DHG=∠DGH= ，

同理，∠CGF= ，

∴∠DGH+∠CGF= ，

又∵菱形ABCD中，AD∥BC，

∴∠D+∠C=180°，

∴∠DGH+∠CGF=90°，

∴∠HGF=90°，

同理，∠GHE=90°，∠EFG=90°，

∴四邊形EFGH是矩形；

（2）解：AB=a，∠A=60°，則菱形ABCD的面積是： a2，

設(shè)BE=x，則AE=a﹣x，

則△AEH的面積是： ，

△BEF的面積是： ，

則矩形EFGH的面積y= a2﹣ ﹣ ，

即y=﹣ x2+ ax，

則當x= = 時，函數(shù)有最大值．

此時BE= ．

【解析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角，以及平行線的性質(zhì)可以證得∠DGH+∠CGH=90°，則∠HGF=90°，根據(jù)三個角是直角的四邊形是矩形，即可證得；（2）設(shè)BE的長是x，則利用x表示出矩形EFGH的面積，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【考點精析】通過靈活運用二次函數(shù)的最值和菱形的性質(zhì)，掌握如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半即可以解答此題．