Question

【題目】已知：拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點A（﹣1，0）和點B，交y軸于點C（0，2）

（1）求拋物線的表達式；

（2）點P為第一象限拋物線上一點，是否存在使△PBC面積最大的點P？若不存在，請說明理由；若存在，求出點P的坐標；

（3）點D坐標為（1，﹣1），連接AD，將線段AD繞平面內某一點旋轉180度得線段MN（點M、N分別與點A、D對應），使點M、N都在拋物線上，求點M、N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）當x=2時，S有最大值為4，此時P（2，3）；（3）N（1，3），M（3，2）．

【解析】

(1) 根據拋物線y=y=﹣x2+bx+c經過A (-1, 0)C(0,2)兩點,列出b和c的二元一次方程組,求出b和c的值, 進而求出拋物線的表達式;

(2)過點P作PQ//y軸,交直線BC于Q,設P(x,),則Q(x,);求出PQ的長, 利用=PQ.OB列出S關于的二次函數, 利用函數的性質求出面積的最大值,進而求出點P的坐標;

(3)作輔助線,根據線段AD繞平面內某一點旋轉180度得線段MN可知: 旋轉后的MN與AD平行且相等,構建全等三角形:ΔADG≌ΔMNG,根據A、 D兩點的坐標發現, N點向下平移1個單位再向右移動兩個單位得M,設N的坐標為:設N(m,) , 根據平移規律表示M (m+2, ) , 代入拋物線的解析式即可

（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點A（﹣1，0）和點B，交y軸于點C（0，2），

∴，

解得，

∴拋物線的解析式：y=﹣x2+x+2；

（2）∵令y=0，則=﹣x2+x+2=0，

解得x1=﹣1，x2=4

∴B（4，0），

∴直線BC：y=﹣x+2；

如圖1，過點P作PQ∥y軸，交直線BC于Q，

設P（x，﹣x2+x+2），則Q（x，﹣x+2）；

∴PQ=（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，

S△PCB=PQOB=×（﹣x2+2x）×4=﹣（x﹣2）2+4；

當x=2時，S有最大值為4，此時P（2，3）；

（3）如圖2，過D作DG⊥x軸于G，過N作NH∥y軸，過M作MH∥x軸，交于H，

由題意得：△ADG≌△MNG，

∵A（﹣1，0），D（1，﹣1），

∴AG=2，DG=1，

∴NH=DG=1，MH=AG=2，

設N（m，﹣m2+m+2），則M（m+2，﹣m2+m+2﹣1），

把M的坐標代入拋物線y=﹣x2+x+2中得：

﹣（m+2）2+（m+2）+2=﹣m2+m+2﹣1，

解得：m=1，

當m=1時，﹣m2+m+2=3，

∴N（1，3），M（3，2）．