Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC與E，交BC與D．求證：

（1）D是BC的中點；

（2）△BEC∽△ADC；

（3）BC2=2AB·CE．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析

【解析】試題分析：（1）由AB是直徑，圓周角定理可得∠ADB=90°，即AD⊥BC，再根據等腰三角形的性質即可證得；

（2）欲證△BEC∽△ADC，通過觀察發現兩個三角形已經具備一組角對應相等，即∠AEB=∠ADC=90°，再根據公共角即可證得；

（3）由△BEC∽△ADC可證CDBC=ACCE，又D是BC的中點，AB=AC，即可證BC2=2ABCE．

證明：（1）∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴D是BC的中點；

（2）∵AB是直徑，

∴AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

又∵∠C=∠C，

∴△BEC∽△ADC；

（3）∵△BEC∽△ADC，

∴=，

∴BCCD=ACCE，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴CD=BC，

∴BCBC=ABCE，

即BC2=2ABCE.