Question

如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O與坐標原點重合，頂點A，C分別在坐標軸上，頂點B的坐標為（4，2）．過點D（0，3）和E（6，0）的直線分別與AB，BC交于點M，N.
（1）求過O，B，E三點的二次函數關系式；
（2）求直線DE的解析式和點M的坐標；
（3）若反比例函數（x＞0）的圖象經過點M，求該反比例函數的解析式，并通過計算判斷點N是否在該函數的圖象上．

Answer 1

（1）過O，B，E三點的二次函數關系式為：y=﹣x²+x；
（2）直線DE的解析式為：y=﹣x+3；M（2，2）；
（3）點N在函數y= 的圖象上．

解析試題分析：（1）首先把O（0，0），B（4，2），E（6，0）代入y=ax²+bx+c，得方程，解此方程即可；
（2）首先設直線DE的解析式為：y=kx+b，然后將點D，E的坐標代入即可求得直線DE的解析式，又由點M在AB邊上，B（4，2），而四邊形OABC是矩形，可得點M的縱坐標為2，求得點M的坐標；
（3）由反比例函數y=（x＞0）的圖象經過點M，可求該反比例函數的解析式，又由點N在BC邊上，B（4，2），可得點N的橫坐標為4．然后由點N在直線y=﹣x+3上，求得點N的坐標，即可判斷．
試題解析：（1）設過O，B，E三點的二次函數關系式為：y=ax²+bx+c；
把O（0，0），B（4，2），E（6，0）代入y=ax²+bx+c，得，
解得：，
∴過O，B，E三點的二次函數關系式為：y=﹣x²+x；
（2）設直線DE的解析式為：y=kx+b，
∵點D，E的坐標為（0，3）、（6，0），
∴，
解得，
∴直線DE的解析式為：y=﹣x+3；
∵點M在AB邊上，B（4，2），而四邊形OABC是矩形，
∴點M的縱坐標為2．
又∵點M在直線y=﹣x+3上，
∴2=﹣x+3．
∴x=2．
∴M（2，2）；
（3）∵y=（x＞0）經過點M（2，2），
∴m=4．
∴該反比例函數的解析式為：y=，
又∵點N在BC邊上，B（4，2），
∴點N的橫坐標為4．
∵點N在直線y=﹣x+3上，
∴y=1．
∴N（4，1）．
∵當x=4時，y==1，
∴點N在函數y= 的圖象上．
考點：反比例函數綜合題．