Question

如圖,拋物線y=ax²+bx+c與x軸的一個交點A的坐標為（﹣1，0），對稱軸為直線x=﹣2．

（1）求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；
（2）點D是拋物線與y軸的交點，點C是拋物線上的另一點．若以AB為一底邊的梯形ABCD的面積為9．
求此拋物線的解析式，并指出頂點E的坐標；
（3）點P是（2）中拋物線對稱軸上一動點，且以1個單位/秒的速度從此拋物線的頂點E向上運動．設點P運動的時間為t秒．
①當t為　 　秒時，△PAD的周長最小？當t為     秒時，△PAD是以AD為腰的等腰三角形？（結果保留根號）
②點P在運動過程中，是否存在一點P，使△PAD是以AD為斜邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1） B（﹣3，0）；
（2）y=x²+4x+3化為頂點式為y=（x+2）²﹣1，得E（﹣2，﹣1）；
（3）①2；4或4﹣或4+;  ②存在一點P，使△PAD是以AD為斜邊的直角三角形, P（﹣2，1）或（﹣2，2）．

試題分析：（1）根據拋物線的軸對稱性可得拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；
（2）先根據梯形ABCD的面積為9，可求c的值，再運用待定系數法可求拋物線的解析式，轉化為頂點式可求頂點E的坐標；
（3）①根據軸對稱﹣最短路線問題的求法可得△PAD的周長最小時t的值；根據等腰三角形的性質可分三種情況求得△PAD是以AD為腰的等腰三角形時t的值；
②先證明△APN∽△PDM，根據相似三角形的性質求得PN的值，從而得到點P的坐標．
試題解析：（1）由拋物線的軸對稱性及A（﹣1，0），可得B（﹣3，0）；
（2）設拋物線的對稱軸交CD于點M，交AB于點N，
由題意可知AB∥CD，由拋物線的軸對稱性可得CD=2DM．
∵MN∥y軸，AB∥CD，
∴四邊形ODMN是矩形．
∴DM=ON=2，
∴CD=2×2=4．
∵A（﹣1，0），B（﹣3，0），
∴AB=2，
∵梯形ABCD的面積=（AB+CD）•OD=9，
∴OD=3，即c=3．
∴把A（﹣1，0），B（﹣3，0）代入y=ax²+bx+3得，
解得．
∴y=x²+4x+3．
將y=x²+4x+3化為頂點式為y=（x+2）²﹣1，得E（﹣2，﹣1）；
（3）①當t為2秒時，△PAD的周長最小；當t為4或4﹣或4+秒時，△PAD是以AD為腰的等腰三角形．
故答案為：2；4或4﹣或4+．
②存在．
∵∠APD=90°，∠PMD=∠PNA=90°，
∴∠DPM+∠APN=90°，∠DPM+∠PDM=90°，
∴∠PDM=∠APN，
∵∠PMD=∠ANP，
∴△APN∽△PDM，
∴，
∴，
∴PN²﹣3PN+2=0，
∴PN=1或PN=2．
∴P（﹣2，1）或（﹣2，2）．