Question

【題目】（1）如圖，將直角的頂點E放在正方形ABCD的對角線AC上，使角的一邊交CD于點F，另一邊交CB或其延長線于點G，求的值；

（2）如圖，將（1）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，其他條件不變．若AB＝m，BC＝n，試求的值；

（3）如圖，將直角頂點E放在矩形ABCD的對角線交點，EF、EG分別交CD與CB于點F、G，且EC平分∠FEG．若AB＝2，BC＝4，直接寫出EG、EF 的長．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）, ；

【解析】

（1）首先過點E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為H、I，然后利用ASA證得Rt△FEI≌Rt△GEH，則問題得證；

（2）首先過點E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為M、N，易證得EM∥AB，EN∥AD，則可證得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案；

（3）過點E作EM⊥BC于M，過點E作EN⊥CD于N，垂足分別為M、N，過點C作CP⊥EG交EG的延長線于點P，過點C作CQ⊥EF垂足為Q，可得四邊形EPCQ是矩形，四邊形EMCN是矩形，可得EC平分∠FEG，可得矩形EPCQ是正方形，然后易證△PCG≌△QCF（AAS），進而可得：CG=CF，由（2）知EF=2EG，易證EM和EN分別是△ABC和△BCD的中位線，進而可得：EM=1，EN=2，MC=2，CN=1，然后易證△EMG∽△ENF，進而可得，即NF=2MG，然后設MG=x，根據CG=CF，列出方程即可解出x的值，即MG的值，然后在Rt△EMG中，由勾股定理即可求出EG的值，進而可得EF的值．

（1）證明：如圖，過點E作EH⊥BC于H，過點E作EI⊥CD于I，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴CE平分∠BCD，

又∵EH⊥BC，EI⊥CD，

∴EH=EI，

∴四邊形EHCI是正方形，

∴∠HEI=90°，

∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，

∴∠IEF=∠GEH，

∴Rt△FEI≌Rt△GEH，

∴EF=EG；

即此時；

（2）如圖2，

過點E作EM⊥BC于M，過點E作EN⊥CD于N，垂足分別為M、N，

則∠MEN=90°，

∴EM∥AB，EN∥AD，

∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，

∴，

∴，即，

，

∴，

∴；

（3）如圖3，

過點E作EM⊥BC于M，過點E作EN⊥CD于N，垂足分別為M、N，

過點C作CP⊥EG交EG的延長線于點P，過點C作CQ⊥EF垂足為Q，

則四邊形EPCQ是矩形，四邊形EMCN是矩形，

∵EC平分∠FEG，

∴CQ=CP，

∴矩形EPCQ是正方形，

∴∠QCP=90°，

∴∠QCG+∠PCG=90°，

∵∠QCG+∠QCF=90°，

∴∠PCG=∠QCF，

在△PCG和△QCF中，

∴△PCG≌△QCF（AAS），

∴CG=CF，

由（2）可得即EF=2EG，

∵點E放在矩形ABCD的對角線交點，

∴EM和EN分別是△ABC和△BCD的中位線，

∴EM=AB=1，EN=AD=BC=2，MC=BC＝2，CN=CD＝AB＝1，

∵四邊形EMCN是矩形，

∴∠NEM=90°，

∴∠MEG+∠GEN=90°，

∵∠GEF=90°，

∴∠FEN+∠GEN=90°，

∴∠MEG=∠FEN，

∵∠EMG=∠FNE=90°，

∴△EMG∽△ENF，

∴，

即NF=2MG，

設MG=x，則NF=2x，CG=2-x，CF=1+2x，

∵CG=CF，

∴2-x=1+2x，

解得：x=，

∴MG=，

在Rt△EMG中，由勾股定理得：EG==，

∵EF=2EG，

∴EF=．