Question

【題目】若一個整數能表示成a2＋b2（a、b是正整數）的形式，則稱這個數為“完美數”。例如5是“完美數”，因為5＝22＋12，再如M＝x2＋2xy＋2y2=(x＋y)2 ＋y2（x、y是正整數），所以M也是“完美數”。

（1）請你再寫一個小于10的“完美數”，并判斷29是否為“完美數”；

（2）試判斷(x2＋9y2)(4y2＋x2)（x、y是正整數）是否為“完美數”，并說明理由；

（3）已知S＝x2＋4y2＋4x－12y＋k（x、y是正整數，k是常數），要使S為“完美數”，試求出符合條件的一個k值，并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）小于10的“完美數”可以為8，29是“完美數”；（2）是“完美數”，理由見解析；（3）k=13，理由見解析.

【解析】

(1)利用定義便可求解.

(2)利用乘法公式求出乘積，然后配方將其變化與完美數進行比較，從而說明理由.

(3)利用配方，將S配成完美數，便可求解k的值.

解：（1）8=22+22

8是完美數.

29=

29是完美數.

(2) (x2＋9y2)(4y2＋x2)= =

因此也是完美數.

(3) S＝x2＋4y2＋4x－12y＋k=

因此k-13=0

k=13