Question

如圖，長方形紙片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步驟進行裁剪和拼圖：

第一步：如圖①，在線段AD上任意取一點E，沿EB，EC剪下一個三角形紙片EBC（余下部分不再使用）；
第二步：如圖②，沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩部分，并在線段GH上任意取一點M，線段BC上任意取一點N，沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩部分；
第三步：如圖③，將MN左側紙片繞G點按順時針方向旋轉180°，使線段GB與GE重合，將MN右側紙片繞H點按逆時針方向旋轉180°，使線段HC與HE重合，拼成一個與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙片．（注：裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊）
則拼成的這個四邊形紙片的周長的最小值和最大值分別為多少？

Answer 1

畫出第三步剪拼之后的四邊形M₁N₁N₂M₂的示意圖，如答圖1所示．
圖中，N₁N₂=EN₁+EN₂=NB+NC=BC，
M₁M₂=M₁G+GM+MH+M₂H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位線定理），
又∵M₁M₂∥N₁N₂，
∴四邊形M₁N₁N₂M₂是一個平行四邊形，
其周長為2N₁N₂+2M₁N₁=2BC+2MN．
∵BC=6為定值，
∴四邊形的周長取決于MN的大小．
如答圖2所示，是剪拼之前的完整示意圖，
過G、H點作BC邊的平行線，分別交AB、CD于P點、Q點，則四邊形PBCQ是一個矩形，這個矩形是矩形ABCD的一半，
∵M是線段PQ上的任意一點，N是線段BC上的任意一點，
根據垂線段最短，得到MN的最小值為PQ與BC平行線之間的距離，即MN最小值為4；
而MN的最大值等于矩形對角線的長度，即

PB2+BC2

=

42+62

=2

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，
四邊形M₁N₁N₂M₂的周長=2BC+2MN=12+2MN，
∴四邊形M₁N₁N₂M₂周長的最小值為12+2×4=20，
最大值為12+2×2

13

=12+4

13

．
故四邊形紙片的周長的最小值為20，最大值為12+4

13

．