Question

【題目】如圖，AD是△ABC的邊BC上的高，由下列條件中的某一個就能推出△ABC是等腰三角形的是__．

①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．

Answer 1

【答案】②③④

【解析】解：應添加的條件是②③④；

證明：②當∠BAD=∠CAD時，∵AD是∠BAC的平分線，且AD是BC邊上的高，則△ABD≌△ACD，∴△BAC是等腰三角形；

③延長DB至E，使BE=AB；延長DC至F，使CF=AC；連接AE、AF．

∵AB+BD=CD+AC，∴DE=DF，又AD⊥BC，∴△AEF是等腰三角形，∴∠E=∠F．

∵AB=BE，∴∠ABC=2∠E．

同理，得∠ACB=2∠F，∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，△ABC是等腰三角形；

④△ABC中，AD⊥BC，根據勾股定理，得：

AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）．

∵AB﹣BD=AC﹣CD①，∴AB+BD=AC+CD②；

∴①+②得：2AB=2AC，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．

故答案為：②③④．