Question

（2013•雅安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=

m

x

（m≠0）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，與x軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（n，6），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，0），且tan∠ACO=2．
（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）在x軸上求點(diǎn)E，使△ACE為直角三角形．（直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)）

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)A作AD⊥x軸于D，根據(jù)A、C的坐標(biāo)求出AD=6，CD=n+2，已知tan∠ACO=2，可求出n的值，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式即可求得反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式；
（2）求出反比例函數(shù)和一次函數(shù)的另外一個(gè)交點(diǎn)即可；
（3）分兩種情況：①AE⊥x軸，②EA⊥AC，分別寫出E的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）過點(diǎn)A作AD⊥x軸于D，
∵C的坐標(biāo)為（-2，0），A的坐標(biāo)為（n，6），
∴AD=6，CD=n+2，
∵tan∠ACO=2，
∴

AD

CD

=

6

n+2

=2，
解得：n=1，
故A（1，6），
∴m=1×6=6，
∴反比例函數(shù)表達(dá)式為：y=

6

x

，
又∵點(diǎn)A、C在直線y=kx+b上，
∴

k+b=6 -2k+b=0

，
解得：

k=2 b=4

，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為：y=2x+4；

（2）由

y= 6 x y=2x+4

得：

6

x

=2x+4，
解得：x=1或x=-3，
∵A（1，6），
∴B（-3，-2）；

（3）分兩種情況：①當(dāng)AE⊥x軸時(shí)，
即點(diǎn)E與點(diǎn)D重合，
此時(shí)E₁（1，0）；
②當(dāng)EA⊥AC時(shí)，
此時(shí)△ADE∽△CDA，
則

AD

CD

=

DE

AD

，
DE=

36

3

=12，
又∵D的坐標(biāo)為（1，0），
∴E₂（13，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，涉及了點(diǎn)的坐標(biāo)的求法以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的知識(shí)，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力和觀察圖形的能力．