Question

如圖，已知直徑為OA的⊙P與x軸交于O、A兩點，點B、C把三等分，連接PC并延長PC交y軸于點D（0，3）．
求證：（1）△POD≌△ABO；
（2）若直線l：y=kx+b經過圓心P和D，求直線l的解析式

Answer 1

（1）證明見解析（2）y=x+3

（1）證明：連接PB，
∵直徑為OA的⊙P與x軸交于O、A兩點，點B、C把三等分，
∴∠APB=∠DPO=×180°=60°，∠ABO=∠POD=90°。
∵PA=PB，∴△PAB是等邊三角形。
∴AB=PA，∠BAO=60°，
∴AB=OP，∠BAO=∠OPD。
在△POD和△ABO中，
∵∠OPD=∠BAO， OP="BA" ，∠POD=∠ABO ， 
∴△POD≌△ABO（ASA）。
（2）解：由（1）得△POD≌△ABO，∴∠PDO=∠AOB。
∵∠AOB=∠APB=×60°=30°，∴∠PDO=30°。
∴OP=OD•tan30°=3×。∴點P的坐標為：（－，0）。
∵點P，D在直線y=kx+b上，
∴ ，解得： 。
∴直線l的解析式為：y=x+3。
（1）首先連接PB，由直徑為OA的⊙P與x軸交于O、A兩點，點B、C把三等分，可求得∠APB=∠DPO=60°，∠ABO=∠POD=90°，即可得△PAB是等邊三角形，可得AB=OP，然后由ASA，即可判定：△POD≌△ABO。
（2）易求得∠PDO=30°，由OP=OD•tan30°，即可求得點P的坐標，然后利用待定系數法，即可求得直線l的解析式。