Question

【題目】閱讀下面材料：

（1）小亮遇到這樣問題：如圖1，已知AB∥CD，EOF是直線AB、CD間的一條折線．判斷∠O、∠BEO、∠DFO三個角之間的數量關系．小亮通過思考發現：過點O作OP∥AB，通過構造內錯角，可使問題得到解決．

請回答：∠O、∠BEO、∠DFO三個角之間的數量關系是　 ．

參考小亮思考問題的方法，解決問題：

（2）如圖2，將△ABC沿BA方向平移到△DEF（B、D、E共線），∠B＝50°，AC與DF相交于點G，GP、EP分別平分∠CGF、∠DEF相交于點P，求∠P的度數；

（3）如圖3，直線m∥n，點B、F在直線m上，點E、C在直線n上，連接FE并延長至點A，連接BA、BC和CA，做∠CBF和∠CEF的平分線交于點M，若∠ADC＝α，則∠M＝　 （直接用含α的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）∠EOF＝∠BEO+∠DFO；（2）∠P＝65°；（3）∠M＝90°﹣α．

【解析】

（1）根據平行線的性質求出∠EOM=∠BEO，∠FOM=∠DFO，即可得出答案；

（2）由DF∥BC，AC∥EF，推出∠EDF=∠B=50°，∠F=∠CGF，推出∠DEF+∠F=180°-50°=130°，再由三角形內角和定理可得∠P+∠FGP=∠F+∠FEP，由此即可解決問題；

（3）由∠M=∠FBM+∠CEM=∠FBC+∠CEM=（180°-α）=90°-α即可解決問題

（1）如圖1中，

∵OP∥AB，

∴∠EOP＝∠BEO，

∵AB∥CD，

∴OP∥CD，

∴∠FOP＝∠DFO，

∴∠EOP+∠FOP＝∠BEO+∠DFO，

即：∠EOF＝∠BEO+∠DFO，

故答案為：∠EOF＝∠BEO+∠DFO；

（2）如圖2中，

∵DF∥BC，AC∥EF，

∴∠EDF＝∠B＝50°，∠F＝∠CGF，

∴∠DEF+∠F＝180°﹣50°＝130°，

∵∠P+∠FGP＝∠F+∠FEP，

∴∠P＝∠F+∠FEP﹣∠FGP＝∠DEF+∠F＝65°；

（3）如圖3中，

易知∠M＝∠FBM+∠CEM，

∵BF∥EC，

∴∠DCE＝∠DBF，

∵∠DEC+∠DCE＝180°﹣α，

∠M=∠FBM+∠CEM＝∠FBC+∠CED＝（180°﹣α）＝90°﹣α．