Question

【題目】如圖，直線y=x+3分別交x，y軸于點(diǎn)D，C，點(diǎn)B在x軸上，OB=OC，過點(diǎn)B作直線m∥CD．點(diǎn)P、Q分別為直線m和直線CD上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P在x軸的上方，滿足∠POQ=45°

（1）則∠PBO=度；
（2）問：PBCQ的值是否為定值？如果是，請(qǐng)求出該定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）求證：CQ2+PB2=PQ2 ．

Answer 1

【答案】
（1）135
（2）

解：PBCQ是定值，理由如下：

∠OCQ=∠ODC+∠COD=45°+90°=135°=∠PBO，

∵∠COQ+∠CQO=180°﹣∠OCQ=45°，∠BOP+∠BPO=180°﹣∠PBO=45°，

∴∠COQ+∠CQO=∠BOP+∠BPO=45°，

又∵∠COQ+∠BOP=∠BOC﹣∠POQ=90°﹣45°=45°，

∴∠COQ=∠BPO，∠CQO=∠BOP，

∴△COQ∽△BPO，

∴ ，即PBCQ=OBOC=9

（3）

解：證明：過點(diǎn)Q作QE⊥m于點(diǎn)E，如圖1所示．

∵OB=OC=3，∠BOC=90°，

∴∠OBC=45°，BC=3 ．

∴∠PBC=∠PBO﹣∠OBC=135°﹣45°=90°，

又∵QE⊥m，

∴CB∥QE，∠PEQ=90°．

∵直線m∥直線CD，

∴四邊形BEQC為矩形，

∴QE=CB=3 ．

在Rt△QEP中，∠PEQ=90°，PE=PB﹣CQ，QE=3 ，

∴PQ2=QE2+PE2=18+（PB﹣CQ）2，

又∵PBCQ=9，

∴PQ2=2PBCQ+（PB﹣CQ）2=PB2+CQ2

【解析】解：（1）令x=0，則y=3，
即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）；
令y=0，則有x+3=0，
解得：x=﹣3，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣3，0）．
又∵OB=OC，
∴OC=OD=OB=3．
∵tan∠ODC= =1，
∴∠ODC=45°，
∵直線m∥直線CD，
∴∠ODC+∠PBO=180°，
∴∠PBO=135°．
所以答案是：135
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)，掌握測(cè)高：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決；測(cè)距：測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解．