Question

如圖，梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，cosC=

2

10

．
（1）求BC的長(zhǎng)；
（2）試在邊AB上確定點(diǎn)P的位置，使△PAD∽△PBC．

Answer 1

分析：（1）過(guò)D作BC的垂線，垂足為E，則四邊形ABED是矩形，在Rt△CDE中，由三角函數(shù)可求EC的值，進(jìn)而可求BC的長(zhǎng)；
（2）設(shè)AP=t（t＞0），有兩種情況：可先證當(dāng)

AD

BP

=

AP

BC

時(shí)，使得△PAD∽△PBC，代值求得AP=1，或AP=6．或當(dāng)

AD

BC

=

AP

BP

時(shí)，△PAD∽△PBC，代值求得AP=

14

5

．

解答：解：（1）過(guò)D作BC的垂線，垂足為E、設(shè)EC=x，（x＞0）（1分）
∵梯形ABCD中AD∥BC且∠A=90°
∴ABED是矩形，
∴AB=DE=7，AD=BE=2，
在Rt△CDE中，cosC=

EC

DC

=

x

x2+49

=

2

10

（2分）
解得x=1，即EC=1．
∴BC=BE+EC=3．（2分）

（2）設(shè)AP=t（t＞0），則BP=7-t，∵AB∥CD，且∠A=90°，
∴∠B=90°，
當(dāng)

AD

BP

=

AP

BC

時(shí)，使得△PAD∽△PBC，
∵AD=2，BC=3，則有

2

7-t

=

t

3

，整理得t²-7t+6=0，
解得t₁=1，t₂=6．（2分）
即AP=1，或AP=6．
∴當(dāng)AP=1，或AP=6時(shí)，△PAD∽△PBC；（ 1分）
當(dāng)

AD

BC

=

AP

BP

時(shí)，△PAD∽△PBC，
∵AD=2，BC=3，則有

2

3

=

t

7-t

，整理得5t=14，解得t=

14

5

．（2分）
即AP=

14

5

．
∴當(dāng)AP=

14

5

時(shí)，△PAD∽△PBC．（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查相似三角形的判定．識(shí)別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等，可利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)計(jì)算對(duì)應(yīng)角的度數(shù)、對(duì)應(yīng)邊的比．