Question

【題目】已知，如圖，垂直，AB=6，Δ是等邊三角形，點在射線上運動，以為邊向右上方作等邊Δ，射線與射線交于點.

（1）如圖1，當點運動到與點成一條直線時， （填長度），∠ 度.

（2）在圖2中，①求證：∠；

②隨著點的運動，∠的度數是否發生改變？若不變，求出這個角的度數；若改變，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）12，60；（2）①證明見詳解；②∠QFC的度數不變，∠QFC=60°；理由見詳解.

【解析】

（1）如圖1，根據題意，由等邊三角形的性質得到PQ=AP，∠BAP=∠ABE=60°，根據三角形的內角和得到∠APB=∠EBP=30°，根據直角三角形的性質得到AP=2AB=12，BE=PE，證得QF⊥AP，即可得到結論；

（2）①根據等邊三角形的性質可以得出AB=AE，AP=AQ，由等式的性質就可以得出∠BAP=∠EAQ，就可以得出結論；

②根據三角形的外角等于不相鄰的兩內角的和，證明∠BAP=∠EAQ，進而得到△ABP≌△AEQ，證得∠AEQ=∠ABP=90°，則∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF．

解：（1）如圖1，當點P運動到與A、E成一直線時，

∵△ABE與△APQ是等邊三角形，

∴PQ=AP，∠BAP=∠ABE=60°，

∵∠ABP=90°，

∴∠APB=∠EBP=30°，

∴AP=2AB=12，BE=PE，

∴PQ=AP=12；

∵PE=AE，

∴QF⊥AP，

∴∠QFC=60°，

故答案為：12，60；

（2）①如圖2，

∵△ABE和△APQ是等邊三角形，

∴AB=AE，AP=AQ，∠BAE=∠PAQ=∠ABE=∠AEB=60°，

∴∠BAE-∠PAE=∠PAQ-∠PAE，

∴∠BAP=∠EAQ，

在△ABP和△AEQ中，

，

∴△ABP≌△AEQ（SAS），

∴∠AEQ=∠ABC=90°．

②∠QFC的度數不變，∠QFC=60°；

由（2）①得∴△ABP≌△AEQ（SAS）

∴∠AEQ=∠ABP=90°

∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，

∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60°．