Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0）、B（﹣3，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣3），其頂點為點D，點E的坐標為（0，﹣），該拋物線與BE交于另一點F，連接BC．

（1）求該拋物線的解析式，并用配方法把解析式化為的形式；

（2）動點M從點D出發，沿拋物線對稱軸方向向上以每秒1個單位的速度運動，運動時間為t，連接OM，BM，當t為何值時，△OMB為等腰三角形？（3）在x軸上方的拋物線上，是否存在點P，使得∠PBF被BA平分？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當t= 或時，△OMB為等腰三角形；（3）存在點P，使∠PBF被BA平分，P（，）.

【解析】

(1)根據待定系數法設拋物線解析式為，代入點C(0，﹣3)，即可得出拋物線解析式；(2)拋物線解析式可得頂點D坐標為(-2，1)，設M(-2，m)，m＞1，則MD=，若BM=OM，根據勾股定理得m2+4=m2+1，若BM=OB，則m2+1=9，

若OM=OB，則m2+4=9，根據MD=t×1，逐項計算即可得出t的值；(3)在y軸上取一點N(0，)，連接BN交拋物線于點P則∠PBO=∠EBO，設直線BN的解析式為，，代入點N(0，)，點B(﹣3，0)，得直線BN的解析式為，與拋物線解析式聯立，即可得出結論.

解：(1)由題意可設拋物線解析式為，

∵點C(0，﹣3)在拋物線上，

∴，

∴，

∴拋物線解析式為；

(2)由(1)有，

∴D點坐標為(-2，1)，拋物線的對稱軸為直線x=-2，

設M(-2，m)，m＞1，則MD=，

∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，

若BM=OM，則m2+4=m2+1，此方程無解，

若BM=OB，則m2+1=9，

解得或(不合題意，舍去)，

∴t=MD=，

若OM=OB，則m2+4=9，

解得或(不合題意，舍去)，

∴t=MD=，

綜上所述，當t=或時，△OMB為等腰三角形；

(3)存在點P，使∠PBF被BA平分，

在y軸上取一點N(0，)，連接BN交拋物線于點P則∠PBO=∠EBO，

設直線BN的解析式為，，

∴，解得，

∴直線BN的解析式為，

解方程組，得或(不合題意，舍去)，

∴P(，).