Question

【題目】如圖，已知點A是雙曲線y＝在第一象限的分支上的一個動點，連結AO并延長交另一分支于點B，以AB為斜邊作等腰直角△ABC，點C在第四象限．隨著點A的運動，點C的位置也不斷變化，但點C始終在雙曲線y＝（k＜0）上運動，則k的值是_____．

Answer 1

【答案】-1．

【解析】

連結OC，作CD⊥x軸于D，AE⊥x軸于E，設A點坐標為（a，），利用反比例函數的性質得到點A與點B關于原點對稱，則OA＝OB，再根據等腰直角三角形的性質得OC＝OA，OC⊥OA，然后利用等角的余角相等可得到∠DCO＝∠AOE，則根據“AAS”可判斷△COD≌△OAE，所以OD＝AE＝，CD＝OE＝a，于是C點坐標為（，﹣a），最后根據反比例函數圖象上點的坐標特征確定C點所在的函數圖象解析式．

解：連結OC，作CD⊥x軸于D，AE⊥x軸于E，

設A點坐標為（a，），

∵A點、B點是正比例函數圖象與雙曲線y＝的交點，

∴點A與點B關于原點對稱，

∴OA＝OB

∵△ABC為等腰直角三角形，

∴OC＝OA，OC⊥OA，

∴∠DOC+∠AOE＝90°，

∵∠DOC+∠DCO＝90°，

∴∠DCO＝∠AOE，

在△COD和△OAE中，

，

∴△COD≌△OAE，

∴OD＝AE，CD＝OE，

∴點C的坐標為（，﹣a），

×（﹣a）＝﹣1，

∴k＝﹣1．

故答案為：﹣1．