Question

【題目】如圖，在中，，，，點、分別在，上，連接.

(1)將沿折疊，使點落在邊上的點處，如圖1，若，求的長；

(2)將沿折疊，使點落在邊上的點處，如圖2，若.

①求的長；

②求四邊形的面積；

(3)若點在射線上，點在邊上，點關于所在直線的對稱點為點，問：是否存在以、為對邊的平行四邊形，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)①；②；(3)存在，或6.

【解析】

（1）先判斷出S△ABC=4S△AEF，再求出AB，判斷出Rt△AEF∽△Rt△ABC，得出，代值即可得出結論；
（2）先判斷出四邊形AEMF是菱形，再判斷出△CME∽△CBA得出比例式，代值即可得出結論；
（3）分兩種情況，利用平行四邊形的性質，對邊平行且相等，最后用勾股定理即可得出結論．

解：(1)∵沿折疊，折疊后點落在上的點處，

∴，，

∴，

∵，

∴，

在中，∵，，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

即：，

∴；

(2)①∵沿折疊，折疊后點落在邊上的點處，

∴，，，

∴，∴，

∴，

∴四邊形是菱形，

設，則，，

∵四邊形是菱形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，，

即：，

②由①知，，，

∴；

(3)①如圖3，當點在線段上時，

∵與是平行四邊形的對邊，

∴，，

由對稱性知，，，

∴，

設，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∴，，

∴，，

在中，，

∴，

∴，

即：；

②如圖4，當點在線段的延長線上時，延長交于，

同理：，，

在中，，

∴，

∴，

∴，

即：或6.